湘教版八年级上册数学精品教学课件 极速提分法 第3招 三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用.pptVIP

第3招三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用湘教版八年级上册

例典例剖析如图，已知AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，AC与BD交于点E，则△ADE的边DE上的高为______，边AE上的高为______．ABDC

解题秘方：三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要线段，它们为我们提供了重要的线段或角的关系．本例中准确掌握三角形高的定义中满足的条件即可求得此题答案．

应用1三角形的高在求线段长中的应用分类训练1．【2023·湖南广益实验中学模拟】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3.试作出BC边上的高AE，并求AE的长．

2．【2023·郴州二中月考】在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为___________．60°或10°应用2三角形的高在求角的度数中的应用

【点拨】分两种情况：(1)如图①，当∠ADC＝90°时，∠BDC＝90°.因为∠B＝30°，所以∠BCD＝180°－90°－30°＝60°.

如图②，当∠ACD＝90°时，因为∠A＝50°，∠B＝30°，所以∠ACB＝180°－30°－50°＝100°.所以∠BCD＝100°－90°＝10°.综上，∠BCD的度数为60°或10°.

3．如图，在△ABC中，BC＝4，AC＝5，若BC边上的高AD＝4.求：应用3三角形的高在求相关线段的比值中的应用

(1)△ABC的面积及AC边上的高BE的长；(2)AD∶BE的值．

4．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC＝1，则PE＋PF＝________．1应用4三角形的高在求相关线段和的问题中的应用

【点拨】

5．如图，已知BE＝CE，ED为△EBC的中线，BD＝8，△AEC的周长为24，则△ABC的周长为()A．40B．46C．50D．56应用5三角形的中线在求线段长中的应用

【点拨】因为△AEC的周长为24，所以AE＋CE＋AC＝24.又因为BE＝CE，所以AE＋BE＋AC＝AB＋AC＝24.因为ED为△EBC的中线，所以BC＝2BD＝2×8＝16.所以△ABC的周长为AB＋AC＋BC＝24＋16＝40.【答案】A

6．【2023·常德十一中模拟】如图，△ABC的周长是21cm，AB＝AC，中线BD分△ABC为两个三角形，且△ABD的周长比△BCD的周长大6cm.求AB，BC的长．

【点思路】本题考查了三角形中线的性质，结合图形，将△ABD的周长比△BCD的周长大6cm转化为AB－BC＝6cm，即可求解．

7．如图，△ABC中，点D，点E分别为BC，AD的中点，且S△ABC＝40，CM⊥AD于M.(1)S△ABD＝________；20应用6三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【点拨】

(2)若AE＝5，求CM的长；

(3)若BN⊥AD交AD的延长线于N，求证：CM＝BN.

8．【2022·绍兴】如图，在△ABC中，∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E.点P是边BC上的动点(不与点B，C重合)，连接AP，将△APC沿AP翻折得△APD，展开后连接DC，记∠BCD＝α.应用7三角形的角平分线在求角问题中的应用

(1)如图，当点P与点E重合时，求α的度数；

解：∵∠ABC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝50°.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE＝25°.设AE与CD的交点为M，易知AE⊥CD，∴∠AMC＝90°，∴∠ACD＝65°，∴α＝∠ACB－∠ACD＝25°.

(2)当点P与点E不重合时，记∠BAD＝β，探究α与β的数量关系．解：①如图(a)，当点P在线段BE上时，∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＋∠BAD＝∠B＋∠BCD，∴90°－α＋β＝40°＋α，∴2α－β＝50°.

②如图(b)，当点P在线段CE上时，延长AD交BC于点F.∵∠ADC＝∠ACD＝90°－α，∠ADC＝∠AFC＋α＝∠ABC＋∠BAD＋α＝40°＋α＋β，∴90°－α＝40°＋α＋β，∴2α＋β＝50°.

9．【2023·益阳一中模拟】如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝50°，∠C＝70°.应用8三角形的角平分线与高在求角的度数中的应用

(1)求∠ADB的度数；解：因为∠B＝50°，∠C＝70°，所以∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－50°－70°＝60°.又因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD＝30°.所以∠ADB＝180°－∠BAD－∠B＝180°－30°－50°＝100°.

(2)若DE⊥AC于点E，求∠E