2026版高三一轮总复习（数学）第六章 第3课时 等比数列 课件.pptxVIP

第六章数列第3课时等比数列

[考试要求]1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系．

链接教材·夯基固本1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第___项起，每一项与它的前一项的比都等于____________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的______，通常用字母q表示，定义的表达式为______＝q(n∈N*，q为非零常数)．2同一个常数公比?

(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么___叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab．G提醒：①“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．②在等比数列中，奇数项同号，偶数项同号．

?a1qn-1提醒：求等比数列的前n项和时，若公比q不明确，需分类讨论．???

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[常用结论]1．等比数列的单调性当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，{an}是常数列．2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)．

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2．(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32C．63 D．64√C[根据题意知，等比数列{an}的公比q≠－1．由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63．]

3．(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于________．?27

4．(人教A版选择性必修第二册P37练习T4改编)已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为_________________．1，3，9或9，3，1?

?典例精研·核心考点√

(2)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120 B．85C．－85 D．－120√

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名师点评等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以通过列方程(组)达到“知三求二”．(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．提醒：运用等比数列的前n项和公式时，一定要注意公比q的讨论(q＝1或q≠1)，否则会造成漏解或增解．

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(2)(多选)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意为有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，则下列说法正确的是(里为古代计量长度的单位)()A．该人第五天走的路程为12里B．该人第三天走的路程为42里C．该人前三天共走的路程为330里D．该人最后三天共走的路程为42里√√

(3)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若8S6＝7S3，则{an}的公比为________．?

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【教用·备选题】1．《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长3尺，莞生一日，长1尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”则当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1．参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)()A．2.9天 B．3.9天C．4.9天 D．5.9天√

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2．(2023·北京高考)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝________，数列{an}所有项的和为________．48384

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3．(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3．(1)求{an}的通项公式；(2)求数列{Sn}的前n项和．

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考点二等比数列的判定与证明[典例2](2024·湖南名校质检)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝2，a2＝－1，且an＋2＋an＋1－6an＝0(n∈N*)．(1)证明：{an＋1＋3an}为等比数列；(2)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．

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名师点评判定一个数列为等比数列的常见方