函数极限的判定.pptxVIP

3.3函数极限存在的条件为例单调有界定理:Cauchy准则:Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限

定义添加标题定理添加标题子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)添加标题Heine归结原则——函数极限与数列极限的关系：添加标题

证

例如,2函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.Heine定理，又称归并原则

的某空心邻域01Heine归结原则——函数极限与数列极限的关系：02Th3.8设函数03在点04内有定义.05则极限06存在,07对任何08且09都存在且相等.

注１．是数列，是数列的极限。所以的极限归结为数列的极限问题来讨论，所以称之为“归结原则”。由此，这个定理把函数可由数列极限的性质来推断函数极限性质。

注２．从Heine定理可以得到一个说明不存在的方法，即“若可找到一个数列，使得不存在；”或“找到两个都以为极限的数列使都存在但不相等，则不存在.

例1证二者不相等,

注３．对于这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的形式。如当1时有：2定理3.9设函数3在4的某空心邻域5内有定义，6对任何以7为极限的递减数列8，有9

二、单调有界定理相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下:Th3.10设为定义在上的单调存在.有界函数，则右极限注：Th３.10可更具体地叙述如下：为定义在上的函数，若在上递增（减）有下（上）界，则存在，且；

极限存在性注定理设单调上升，则在无下界,规定上定义，且下面给出关于左极限的相应定理的表述和证明.存在且等于无上界,规定

,证令A=,当集合有上界时,，当它无上界时，,由上确界定义，,使得,取，则当时，由函数单调上升得,再由上确界定义,或即。

2)因集合无上界，对,使得.取，则当时,有,即，.类似地我们有:在定义，且单调下降,则关于右极限的相应结果，同学们自行给出定理的表述和证明。.

三Cauchy准则:添加标题Th3.11(Cauchy准则)设函数添加标题在点添加标题的某空心邻域添加标题内有定义.则添加标题存在添加标题证添加标题(利用Heine归并原则)添加标题(利用极限的定义)

注：按照Cauchy准则，可以写出1不存在的充要条件：存在2，对任意3，存在4使得5.例：用Cauchy准则说明6综上所述：Heine定理和Cauchy准则是说明极限不存在的很方便的工具。7不存在.8取9

小结Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：单调有界定理Cauchy准则: