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专题07立体几何与空间向量

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（???）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

二、多选题

2．在正三棱柱中，D为BC中点，则（????）

A． B．平面

C． D．平面

三、填空题

3．如图，在正四棱柱中，，则该正四棱柱的体积为．

??

4．某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为．

5．一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为．

四、解答题

6．正方体的棱长为4，分别为中点，．

(1)求证：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)求三棱锥的体积．

7．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，，将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．

(1)证明:平面；

(2)求面与面所成的二面角的正弦值．

8．如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点．

(1)若分别为的中点，求证：平面PAB；

(2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值．

9．如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．

??

(1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；

(2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD．

10．如图所示的四棱锥中，平面，．

(1)证明：平面平面；

(2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．

（i）证明：在平面上；

（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．

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《专题07立体几何与空间向量》参考答案

题号

1

2

答案

C

BD

1．C

【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误.

【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误；

对于B，若，则，故B错误；

对于C，两条平行线有一条垂直于一个平面，则另一个必定垂直这个平面，

现，故，故C正确；

对于D，，则与可平行或相交或，故D错误；

故选：C.

2．BD

【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.

【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，

又平面，则，则，

因为是正三角形，为中点，则，则

又，

所以，

则不成立，故A错误；

对于B，因为在正三棱柱中，平面，

又平面，则，

因为是正三角形，为中点，则，

又平面，

所以平面，故B正确；

对于D，因为在正三棱柱中，

又平面平面，所以平面，故D正确；

对于C，因为在正三棱柱中，，

假设，则，这与矛盾，

所以不成立，故C错误；

故选：BD.

法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，

则，

对于A，，

则，

则不成立，故A错误；

对于BD，，

设平面的法向量为，

则，得，令，则，

所以，，

则平面，平面，故BD正确；

对于C，，

则，显然不成立，故C错误；

故选：BD.

3．

【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.

【详解】因为且四边形为正方形，故，

而，故，故，

故所求体积为，

故答案为：.

4．

【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积.

【详解】先证明一个结论：如果平面平面，平面平面，平面，则.

证明：设，，在平面取一点，，

在平面内过作直线，使得，作直线，使得，

因为平面平面，，故，而，故，

同理，而，故.

下面回归问题.

连接，因为且，故，同理，，

而，故直角梯形与直角梯形全等，

故，

在直角梯形中，过作，垂足为，

则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形，

故，

平面平面，平面平面，,

平面，故平面，

取的中点为，的中点为，的中点为，连接，

则，同理可证平面，而平面，

故平面平面，同理平面平面