专题03导数及其应用.docxVIP

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

试卷第=page11页，共=sectionpages33页

专题03导数及其应用

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（??）

A．4个 B．3个 C．1个 D．无数个

二、多选题

2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（???）

A． B．当时，

C．当且仅当 D．是的极大值点

三、填空题

3．若直线是曲线的切线，则.

4．若是函数的极值点，则

四、解答题

5．已知．

(1)若，求不等式的解集；

(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；

6．（1）设函数，求在的最大值；

（2）给定，设a为实数，证明：存在，使得；

（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．

7．已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．

(1)求的最大值；

(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；

(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．

8．已知函数

(1)时，求在点处的切线方程；

(2)有3个零点，且.

（i）求a的取值范围；

（ii）证明．

9．已知函数，其中．

(1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)设分别为在区间的极值点和零点.

（i）设函数·证明：在区间单调递减；

（ii）比较与的大小，并证明你的结论．

10．设数列满足，

(1)证明：为等差数列；

(2)设，求．

答案第=page11页，共=sectionpages22页

答案第=page11页，共=sectionpages22页

《专题03导数及其应用》参考答案

题号

1

2

答案

B

ABD

1．B

【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得.

【详解】由题意，不妨设，

三点均在第一象限内，由可知，，

故点恒在线段上，则有.

即对任意的，恒成立，

令，构造函数，

则，由单调递增，

又，存在，使，

即当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故至多个零点，

又由，

可知存在个零点，不妨设，且.

①若，即时，此时或.

则，可知成立，

要使、、的值均能构成三角形，

所以恒成立，故，

所以有，解得；

②若，即时，此时.

则，可知成立，

要使、、的值均能构成三角形，

所以恒成立，故，

所以有，解得或；

综上可知，正整数的个数有个.

故选：B.

2．ABD

【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.

【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确；

对B，当时，，则，故B正确；

对C，，故C错误；

对D，当时，，则，

令，解得或（舍去），

当时，，此时单调递增，

当时，，此时单调递减，

则是极大值点，故D正确；

故选：ABD.

3．

【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.

【详解】法一：对于，其导数为，

因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，

令，即，解得，

将代入切线方程，可得，

所以切点坐标为，

因为切点在曲线上，

所以，即，解得.

故答案为：.

法二：对于，其导数为，

假设与的切点为，

则，解得.

故答案为：.

4．

【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解.

【详解】由题意有，

所以，

因为是函数极值点，所以，得，

当时，，

当单调递增，当单调递减，

当单调递增，

所以是函数的极小值点，符合题意；

所以.

故答案为：.

5．(1)

(2)且.

【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解；

（2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围.

【详解】（1）因为，故，故，故，

故即为，

设，则，故在上为增函数，

而即为，故，

故原不等式的解为.

（2）在有极大值即为有极大值点.

，

若，则时，，时，，

故为的极小值点，无极大值点，故舍；

若即，则时，，

时，，

故为的极大值点，符合题设要求；

若，则时，，无极值点，舍；

若即，则时，，

时，，

故为的极大值点，符合题设要求；

综上，且.

6．(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用