精品解析：山东省青岛市青岛二中2024届高三上学期期中数学试题（解析版）.docxVIP

青岛二中2023-2024学年第一学期期中考试

高三数学试题

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.命题“，”的否定是（）

A.， B.，

C.， D.，

【答案】A

【解析】

【分析】由存在量词命题的否定全称量词命题，得到命题的否定.

【详解】命题“，”的否定是“，”.

故选：A

2.已知集合，，且，则实数的所有取值集合是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合交集结果得到，从而分类讨论的取值即可得解.

【详解】因为，所以，

而，，

当时，集合，满足；

当时，集合，

由，得或，解得或，

综上，实数的取值集合为.

故选：C.

3.若的展开式中共有个有理项，则的值是（）

A.1 B.2 C.3 D.4

【答案】C

【解析】

【分析】利用二项展开式通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，，

当时，为有理项，故.

故选：C.

4.底面半径是1的圆锥，侧面积是，则圆锥的体积是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】结合扇形的面积公式可求得圆锥的母线长，进而求得圆锥的高，进而根据圆锥的体积公式计算即可.

【详解】设圆锥的母线长为，则，解得，

所以圆锥的高为，

则圆锥的体积为.

故选：D.

5.柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（）

A. B. C.12 D.20

【答案】A

【解析】

【分析】运用柯西不等式直接求解即可.

【详解】由，解得，

所以函数的定义域为，

由柯西不等式得，，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最大值为.

故选：A.

6.设曲线在处切线为，若的倾斜角小于，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合切线倾斜角范围建立不等式，再求解不等式即得.

【详解】令，求导得，则切线的斜率为，

由的倾斜角小于，得切线的斜率或，

即或，

解得，解得或，

所以实数的取值范围是.

故选：B

7.已知角，且，，则（）

A. B. C. D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根据两角差的正弦、余弦、正切公式化简求解即可.

【详解】因为，

所以，，，

又，

所以，

所以，

所以.

故选：C.

8.如图，已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，点在上底面（包括边界）上运动，则三棱锥外接球表面积的最大值为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】由条件确定球心位置，引入变量表示球的半径，由此确定球的表面积及其最大值.

【详解】因为为等腰直角三角形，，

所以的外接圆的圆心为的中点，且，

设的中点为，连接，则，则平面，

设三棱锥外接球的球心为，由球的性质可得在上，

设，，外接球的半径为，

因为，所以，

即，又，则，

因，所以

所以三棱锥外接球表面积的最大值为.

故选：B.

【点睛】方法点睛：常见几何体的外接球半径求法：

（1）棱长为的正方体的外接球半径为；

（2）长方体的长，宽，高分别为，则其外接球的半径为；

（3）直棱柱的高为，底面多边形的外接圆半径为，则其外接球的半径为.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）

9.已知函数，下列结论正确的是（）

A.的周期是

B.的图象关于点对称

C.的单调递增区间为

D.要得到的图象，只需把的图象向右平移的单位

【答案】AC

【解析】

【分析】根据三角恒等变换化简，进而结合正弦函数的性质及平移变换判断各选项即可.

【详解】由

，

对于A，的周期为，故A正确；

对于B，当时，，

所以的图象不关于点对称，故B错误；

对于C，令，，

解得，，

所以的单调递增区间为，故C正确；

对于D，的图象向右平移的单位后，解析式为，故D错误.

故选：AC.

10.已知直线：和圆：，下列结论成立的是（）

A.直线：过定点

B.当直线与圆相交时，直线：被圆所截的弦长最大值为4

C.当直线与圆相切时，则实数

D.当实数的值为3时，直线与圆相交，且所得弦长为

【答案】AD

【解析】

【分析】求出直线过的定点判断A；由直线是否过圆心判断B；利用点到直线距离公式计算判断C；利用圆的弦长公式计算判断D.

【详解】圆：的圆心，半径

对于A，对于任意实数，当时，恒有，即