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CT系统放大倍数与极限空间分辨率关系的数学推导

摘要：图像质量是CT系统的核心指标，而空间分辨率又是图像质量评价的重要指标之一。图像的极限空间分辨率由系统的截止频率决定，通过对截止频率与系统的有效射束宽度的关系公式推导发现，工业CT系统放大倍数在不同的范围变化下CT系统有其最佳放大倍数，此时CT系统的有效射束出现最小值，极限空间分辨率达到其最大值。这些规律的发现，为检测人员在检测过程中根据自身CT系统的参数进行有效的调整，从而发挥设备的最佳状态，使图像质量更加清晰，同时为CT系统的设计提供参考依据。

关键词：CT；放大倍数；临界放大倍数；极限空间分辨率；有效射束宽度

工业CT无损检测技术，是利用工业CT扫描成像设备得到检测物体的投影图像，结合计算机三维图像重建、图像处理和可视化等技术，对物体进行无损、高精度、全方位的检测和分析的新技术[1]。工业CT的应用非常广泛，例如航空发动机和关键结构件等；核工业和电子信息器件中很多焊接部分[2－7]；汽车工业，例如汽车发动机部件和结构件[8]；以及在医学研究中等[9－10]；目前我们已开始将其应用于陶瓷材料的制备过程中，用以检测所制备材料的内部缺陷情况。在ASTM标准E1441-00[11]中，我们可以了解有效射束宽度（BeamWidth，BW）和放大倍数的关系，但是无法从设备的参数来直观了解CT设备的具体性能。

通过对该标准中的关系式进行推导，我们可以将设备的焦点尺寸，探测器的有效宽度和放大倍数的关系建立起来，从而可以更好地发挥CT设备的最佳状态，使图像质量更加清晰。

1公式的推导

极限空间分辨率，即CT系统最高空间分辨率，是由系统的截止频率（Cut-OffFrequently，COF）FCO决定。FCO与系统的WB的关系公式如下：

（1）

（2）

其中d为探测器单元的有效宽度，a为CT系统的焦点尺寸，M为CT系统的放大倍数，

（3）

式中DSD为射线源到探测器的距离，DSO为射线源到检测件的距离，如图1所示。在实际情况中，M一般都大于1，即M1，定义CT系统的最小放大倍数为Mmin，最大放大倍数为Mmax。

d

注：a为CT的焦点尺寸，d为探测器单元的有效宽度，

D为射线源到探测器的距离，D为射线源到检测件的距离

图1CT扫描几何示意图

Fig.1ThegeometrysketchofCTscanning

对于给定的CT系统，一般WB是确定的，而此宽度决定了该系统的极限空间分辨率，对公式（2）进行变化[12]：

12

1

2

（4）ad2aaM2M=(|((2+2).1-2.1

（4）

ad2aa

M2M

1

=((|(a2+d2)-,)2+,)2

根据公式（4）可以得到：如果将定义为X，Y=

则可以推出公式：

根据公式（5）可以看出此方程为抛物线方程，由此可以得到抛物线（图2）。

图2方程（5）的曲线

Fig.2Thecurvesofequation(5)

图3方程（5）变化后的曲线

Fig.3Thecurvesofchangedequation(5)

图4不同X值条件下的最大值和最小值

Fig.4ThemaximumandminimumwithdifferentXvalue

根据M1，0X=抛物线的范围可变化为图3：（其中a、d的大小不确定）

因此可提出三种不同方式。根据X=，定义X1=、X2=其中

0X1X21，则可得：

当X1X2≤时，X=X2=有最小值；X=X1=有最大值，代入公式Ymin=，Ymax=

当X1≤时，有最小值；X=X1=或有最大值，代入公式Ymin=，Ymax=或

当X2X1≥时，X=X1=有最小值；