不等式证明中的运用.docVIP

1.引言

不等式作为一个重要的分析工具和分析手段，在数学中具有举足轻重的地位.可用推理性或探索性证明不等式。推理性问题即是指在特定条件下，阐述论证过程,揭示内在规律,根本方法有比拟法、分析法、综合法；在中学阶段，探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察-归纳-猜测-证明的思路，以数学归纳法完成证明。不等式是中学数学的根底和重要组成局部，它和函数、三角、数列、几何、极限等知识关系密切，相互渗透、相互作用，所以在高考中一直是考查的重点内容。由于在高中阶段我们学习的这局部知识都比拟零散和难懂，很多同学都无法攻克不等式这一难关。

在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证明，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公式法、函数的凹凸性法、柯西施瓦茨不等式。

此文将把同学们学过的不同阶段的代数、几何、三角等方面的知识纵横联系、融会贯穿，对中学数学中常用的一些证明方法进行归纳、总结，从而使读者在读完此文之后能够比拟系统的、深入的掌握一些规律，学会一些方法。

2.中学常用的证明方法

一般来说，凡经过逻辑推理或论理来断定不等式中的变量在允许取值的范围之内，使得不等式成立，这样一个过程就叫做“证明不等式”，其实质就是要证明所给的不等式在给定的条件下恒成立。在中学数学中证明不等式的方法许多种。假设用初等方法证明往往会造成复杂的运算过程，如在构造函数的背景下运算函数的单调性、利用微分中值定理、函数的极值和最值等。将不等式问题转化为函数问题。利用函数性质来研究，解决不等式问题，使学生掌握不等式证明的函数思想方法，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力。

由于不等式的形式多种多样，所以不等式的证明方法也就灵活多样，从具体的教学实践，我们可以归纳以下中学阶段几种常用的证明方法

2.1比拟法

比拟法是证明不等式的最根本最重要的方法之一，也是一个常用的方法，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接利用，比拟法有求差、求商两种形式。其中求差比拟法是最根本的，也是高考重点考查的证法之一，其次用求商法时必须考虑分母的正负。

作差法

其一般步骤为：作差→将差变形→判断差的正负→得出结论.

例1.假设，证明。

证明：因为

所以。

作商法

假设，那么“”，其一般步骤为“作商→变形→判断与1的大小→得出结论”。

例2.求证：

证明：

同理可证：

作差法与作商法本质是一样的，这从下面的转化关系可以看出：设假设，正因为这样，一道题能用求差比拟法证明，也一定能利用求商比拟法证之，反之亦然。如果是和差形式，宜于用求差比拟法证明，如果是乘积形式，宜于用求商比拟法证明，具体问题要观察结构特征，灵活运用。

2.2综合法

综合法是指从已证不等式和问题的条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后到达待证结论或需求问题。其特点和思路“由因导果”，即从“”看“可知”，逐步推向“知”。综合法的优点是宜于表述，条理清晰，形式简洁。

例3.在，求证

即证原不等式成立

2.3分析法

分析法是指从需证的不等式出发，分析不等式成立的充分条件，进而转化为判定条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“”。分析法的优点是利于思考，方向明确，思路自然，易于掌握。

例4.在，求证

要证

故只要证明

而

即证原不等式成立

[知识总结]分析法是一种执果索因的方法,是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判断这些条件是否具备的问题.同时要特别注意分析法步骤的书写标准问题.

2.4放缩法

放缩法是不等式证明中一种重要的变形技巧，就是在证明不等式时，可借助于一个或多个中间量通过适当的放大使得或通过适当地缩小，使得利用不等式的传递性，到达证题的目的。故放缩法包括添项法、拆项法。

例5.设、、是三角形的边长，求证≥3

证明：由不等式的对称性，不妨设≥≥，那么≤≤

且≤0，≥0

∴

≥

∴≥3

2.5数学归纳法

所谓归纳法就是由特殊到一般的推理方法就叫做归纳法，什么是“由特殊到一般”？例如对于一个正数有，对于两个正数有，对于3个正数有，.这就使我们猜测到(或称归纳出)对于个正数可能有，成立像这样从特殊情况中发现一般规律，就叫做“由特殊到一般”，至此，我们只是猜测到有可能结论成立，所得结论是用不完全归纳法得到的。但是这个结论究竟是否成立?还有待进一步的推理(或证明)这便要用到数学归纳法。

用数学归纳法证明不等式，须用两个步骤完成：

第一步，验证取第一个值()时不等式成立；

第二步，假定取某一个自然数时，不等式