重难点26 巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.docxVIP

重难点26巧解圆锥曲线的离心率问题【八大题型】

【新高考专用】

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【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】 2

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】 3

【题型3利用等量关系或不等关系求离心率或其范围】 3

【题型4利用正、余弦定理求离心率或其范围】 4

【题型5利用基本不等式求离心率的范围】 5

【题型6椭圆与双曲线综合的离心率问题】 5

【题型7函数法求离心率或其范围】 6

【题型8坐标法求离心率或其范围】 7

1、巧解圆锥曲线的离心率问题

从近几年的高考情况来看，圆锥曲线的离心率或其取值范围问题是高考的热点题型，主要以选择题或填空题的形式考查，难度不大；对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.

【知识点1圆锥曲线的离心率】

1．椭圆的离心率

(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.

(2)离心率的范围：0e1.

(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.

当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接

近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.

2．求椭圆离心率或其取值范围的方法

解题的关键是借助图形建立关于a,b,c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下:

(1)直接求出a,c，利用离心率公式求解.

(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式求解.

(3)构造a,c的齐次式.离心率e的求解中可以不求出a,c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.

3．双曲线的离心率

(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.

(2)双曲线离心率的范围：e1.

(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.

因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.

(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.

4．求双曲线离心率或其取值范围的方法

(1)直接求出a,c的值，利用离心率公式直接求解.

(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式)，借助于消去b，转化为含有e的方程(或不等式)

求解.

5．抛物线的离心率

抛物线的离心率e=1.

【知识点2离心率的范围问题的求解方法】

1．不等式法求离心率的范围

(1)利用圆锥曲线的定义求离心率的范围：利用圆锥曲线的定义建立不等关系，结合离心率公式求解.

(2)利用圆锥曲线的性质求离心率的范围：利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、双曲线渐近线的

斜率、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解.

(3)利用题目条件中的不等关系，建立不等式(不等式组)求解.

(4)利用基本不等式求离心率的范围：把离心率的关系式转化为能利用基本不等式的形式，利用基本不

等式建立不等关系进行求解.

2．函数法求离心率的范围

(1)根据题干条件，如圆锥曲线的定义、性质、其他等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数

关系式；

(2)结合圆锥曲线的离心率的范围，来确定所得函数的定义域；

(3)利用函数的性质求最值或值域，进而求解离心率的最值或取值范围.

3．坐标法求离心率的范围

根据所给条件，设出所求点的坐标，把点的坐标代入曲线方程，结合相关知识，进行求解即可.

【题型1利用圆锥曲线的定义求离心率或其范围】

【例1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知双曲线的两个焦点分别为4,0,-4,0，点4,-6在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（????）

A．3 B．3 C．2 D．2

【变式1-1】（2024·广西贵港·模拟预测）已知正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且椭圆的两个焦点分别为边AD和BC的中点，则该椭圆的离心率为（????）

A．22 B．3-12 C．

【变式1-2】（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b

A．33 B．32 C．12

【变式1-3】（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,

A．2,+∞ B．1,2 C．2,+

【题型2利用圆锥曲线的性质求离心率或其范围】

【例2】（2024·浙江杭州·三模）已知双曲线x2a2-y2b2=1a,

A．2,+∞ B．3,+∞ C．

【变式2-1】（23-24高二下·山西运城·期中）已知F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y26=1(a0)

A．33 B．32 C．63

【变式2-