重难点28 圆锥曲线中的切线与切点弦问题【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点28圆锥曲线中的切线与切点弦问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1求圆锥曲线的切线方程】 2

【题型2圆锥曲线的切点弦问题】 4

【题型3切点弦过定点问题】 8

【题型4与切点弦有关的面积问题】 13

【题型5与切点弦有关的定值问题】 19

【题型6与切点弦有关的最值（范围）问题】 24

1、圆锥曲线中的切线与切点弦问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，切线与切点弦问题的考查频率变高，考查形式多种多样，以选择题或填空题的形式考查时，主要考查切线方程与切点弦方程，难度不大；以解答题的形式考查时，主要考查切点弦问题和以切线为载体的面积、最值、定值等问题，难度较大；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1圆锥曲线中的切线与切点弦】

1．圆锥曲线的切线和切点弦

(1)切线方程：

过圆锥曲线Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为.

(2)切点弦方程：

当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.

上述两条为一般结论.特别地：

①对于椭圆+=1(ab0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程+=1.

当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为+=1.

②更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即圆锥曲线形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原圆锥曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.

2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论

(1)过椭圆+=1上一点Px0,y0

(2)过椭圆+=1外一点Px0,y0

(3)过双曲线-=1上一点Px0,y0

(4)过双曲线-=1外一点Px0,y0

【题型1求圆锥曲线的切线方程】

【例1】（2024·全国·模拟预测）椭圆x24+3y24=1上点P(1,1)处的切线方程是x+3y-4=0

【解题思路】由导数的几何意义即可求得切线方程.

【解答过程】∵椭圆x2

∴y0时，y=43-

∴x＝1时，y=-1

∴椭圆x24+3y2

即x+3

故答案为：x+3

【变式1-1】（2023·河南·模拟预测）若直线l与单位圆（圆心在原点）和曲线x24-y28=1均相切，则直线l的一个方程可以是3x+

【解题思路】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线.

【解答过程】显然直线l存在斜率，设直线l：y=

联立方程组y=

得2-

因为直线l与曲线相切，所以Δ=4

即m2

因为直线l与单位圆相切，所以m

联立方程组m2

解得k=±3

故直线l的方程可能是3x+y+2=0，3

故答案为：3x+y+2=0（或3x-

【变式1-2】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆M:y2a2

(1)求M的离心率；

(2)若直线l:y=x+m

【解题思路】（1）由椭圆M:y2a2+x2b2=1(

（2）联立M和l的方程，得到关于x的一元二次方程，由Δ=0，可求得m=±22，即可得到

【解答过程】（1）因为椭圆M:y2a2

所以6a2=1

由a2=b

所以M的离心率e=

（2）

??

由（1）可得M的方程为，y2

联立y26+

由Δ=4m2

∴直线l的一般式方程为：x-

【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系xoy中，曲线C：y=x24与直线y=

(1)当k=0时，分别求C在点M和N

(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠

【解题思路】（1）先求出M，N的坐标，再利用导数求出M，N.

（2）先作判定，再利用设而不求思想．将y=kx+a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次方程，设出M，N的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线PM，PN的斜率之和用a表示出来，利用直线PM，PN的斜率为0，即可求出a

【解答过程】（1）由题设可得M(2a,a)，N-2

故y=x24在x=2a处的导数值为

y-a=

故y=x24在x=-2a处的导数值为

y-a=-

故所求切线方程为ax-y

（2）存在符合题意的点，证明如下：

设P（0,b）为符合题意的点，M(x1,y

将y=kx+a代入

∴x1

∴k1+k2=

当b=-a时，有k1+k2

故∠OPM=∠OPN，所以

【题型2圆锥曲线的切点弦问题】

【例2】（2024·福建福州·模拟预测）过M2,-2p引抛物线x2=2pyp0的切线，切点分别为A，B.若AB

A．14 B．12