重难点31 阿基米德三角形【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（原卷版）.docxVIP

重难点31阿基米德三角形【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1弦长与弦所在方程问题】 2

【题型2定点问题】 3

【题型3切线垂直问题】 4

【题型4切线交点及其轨迹问题】 5

【题型5面积问题】 7

【题型6最值问题】 8

1、阿基米德三角形

阿基米德三角形是圆锥曲线的重要内容，圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，阿基米德三角形的考查频率变高，在各类题型中都有可能考查，复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1阿基米德三角形】

抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.

性质1阿基米德三角形的底边AB上的中线MQ平行于抛物线的轴.

性质2若阿基米德三角形的底边AB过抛物线内的定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线，该直线

与以C点为中点的弦平行.

性质3若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边AB过定点(若直线l

方程为：ax+by+c=0，则定点的坐标为.

性质4底边AB为a的阿基米德三角形的面积最大值为.

性质5若阿基米德三角形的底边AB过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积最小，

最小值为p2.

【题型1弦长与弦所在方程问题】

【例1】（23-24高二下·河南开封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称△PAB为“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）△PAB为直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知过抛物线x2=16y焦点的直线l与抛物线交于A，B两点，过点A，B处的切线交于点P，若点P的横坐标为2，则直线AB的方程为（????）

A．x+2y-

C．x-4y

【变式1-1】（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为3x-3y+6=0

A．AB=323

C．PF⊥AB D．点P

【变式1-2】（23-24高二上·重庆·期末）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希腊伟大的物理学家，数学家和天文学家，并享有“数学之神”的称号.他研究抛物线的求积法，得出了著名的阿基米德定理．在该定理中，抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P，则△PAB为“阿基米德三角形”，且当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下特征：（1）P点必在抛物线的准线上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB，“阿基米德三角形”为△

A．x-y-

C．x+y-

【变式1-3】（2024高三·全国·专题练习）AB为抛物线x2=2pyp0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分别过A,

A．x

B．底边AB的直线方程为x0

C．△AMB

D．△AMB面积的最小值为2

【题型2定点问题】

【例2】（23-24高二下·安徽·开学考试）抛物线的弦与在弦两端点处的切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：y=ax2给出如下三个条件：①焦点为F0,12；②准线为y

(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

(2)已知△ABQ是（1）中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB

【变式2-1】（2024·湖南·三模）已知抛物线E:y2=2px(p0)的焦点为F，过F且斜率为2的直线与

(1)求E的方程；

(2)直线l:x=-4，过l上一点P作E的两条切线PM,PN，切点分别为M，N

【变式2-2】（2024·甘肃兰州·一模）已知圆C过点P4,1，M2,3和N2,-1，且圆C与y轴交于点F，点F是抛物线

(1)求圆C和抛物线E的方程；

(2)过点P作直线l与抛物线交于不同的两点A，B，过点A，B分别作抛物线E的切线，两条切线交于点Q，试判断直线QM与圆C的另一个交点D是否为定点，如果是，求出D点的坐标；如果不是，说明理由．

【变式2-3】（2024·辽宁·三模）设抛物线C的方程为y2=4x，M为直线l:x=-m(m0)上任意一点；过点M作抛物线C的两条切线

(1)当M