重难点29 圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）.docxVIP

重难点29圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题【六大题型】

【新高考专用】

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【题型1三角形面积问题】 2

【题型2四边形面积问题】 5

【题型3三角形面积之比问题】 10

【题型4三角形面积之和、之差问题】 15

【题型5已知面积求其他量】 20

【题型6三角形（四边形）面积的最值、范围问题】 25

1、圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题

圆锥曲线是高考的重点、热点内容，从近几年的高考情况来看，圆锥曲线中的三角形（四边形）面积问题考查热度较高，考查形式多种多样，主要考查三角形、四边形的面积及其最值（范围）问题、面积之比问题、已知面积求其他量等问题，各种题型都有考查，在解答题中，计算量大，难度较高；复习时要加强此类问题的训练，灵活求解.

【知识点1圆锥曲线中的面积问题及其解题策略】

1．三角形面积问题的解题策略

(1)利用三角形面积公式求解：

①(一般选弦长做底，点到直线的距离为高)；

②.

2．四边形面积问题的解题策略

面积的拆分：不规则的多边形的面积问题通常考虑拆分为多个三角形的面积和，对于三角形如果底和高不便于计算，则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形.

3．三角形面积之比问题的解题策略

(1)三角形面积公式：利用三角形面积公式分别求出各个三角形的面积，再研究它们之间的比值问题.

(2)面积的关系的转化：寻找这些三角形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化.

4．圆锥曲线中面积的最值（范围）问题的解题策略

一般都是利用三角形面积公式表示面积，然后将面积的关系式转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值(常用方法有：单调性法、换元法、基本不等式、三角函数求最值、利用导数求最值等)，在计算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活求解，简化计算.

【题型1三角形面积问题】

【例1】（2024·湖北武汉·二模）已知抛物线C:y2=2pxp0的焦点为F，过F作直线交抛物线C于A,B两点，过A,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M,N，若△AFM和△BFN的面积分别为8和4，则

A．32 B．16 C．82 D．

【解题思路】设直线AB:x=my+p2

【解答过程】设直线AB:

??

代入抛物线方程，消元可得y2

设Ay12

S△

S△

∴

=

=p

于是S△AFM?

∴S

故选：C.

【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知点A为双曲线x24-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的左支上，若

A．4 B．89 C．169 D

【解题思路】双曲线x24-y2=1的左顶点A-2,0

【解答过程】由题意得A-2,0，点B和点

若△ABC是等腰直角三角形，由双曲线的对称性可得A

设Bx1,

则有y1=x1-2

则有等腰直角三角形△ABC的斜边BC=8

所以S△

故选：C.

【变式1-2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为20

A．6433 B．643 C．128

【解题思路】首先求出a,b,c

【解答过程】由题知，2a=20ca=

∵C的左?右焦点为F1,F2，若C

∴由椭圆定义得PF

由余弦定理得PF12+

得PF

∴△F1P

故选：A.

【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）已知点A为椭圆M：x24+y23=1的一点，F1，F2分别为椭圆M的左，右焦点，∠

A．12 B．22 C．1 D

【解题思路】结合光学性质，列出直线AB方程，即可求解答案.

【解答过程】设点Ax0,

所以过A的切线方程即直线DE为x?

即y=-

由光学几何性质知，kAB

所以kAB

则直线AB的方程为y-

令x=0，得yB=-

所以S△

故选：C.

【题型2四边形面积问题】

【例2】（2024·贵州毕节·二模）在椭圆C:x24+y22=1上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD

(1)当点P在椭圆C上运动时，求点M的轨迹E的方程；

(2)若曲线E与x，y轴的正半轴分别交于点A，B，点N是E上第三象限内一点，线段AN与y轴交于点H，线段BN与x轴交于点G，求四边形ABGH的面积.

【解题思路】

（1）利用相关点法求轨迹方程；

（2）首先设点N的坐标，并表示直线AN,BN的方程，并求点H,G

【解答过程】（1）由DP=2DM

设Mx,y，Px1,

∵x124

所以点M的轨迹E的方程为x2

（2）由题知A2,0，B0,1，设Nm,n

??

令x=0，解得yH=2n2-

所以AG=2-m

又因为m

所以S四边形ABGH

=

所以四边形ABGH的面积为2.

【变式2-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）如图，直线l1:x=my+n