清单10 等差数列、等比数列基本量（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docxVIP

清单10等差数列、等比数列基本量（2个考点梳理+5题型解读+变式训练）

【清单01】等差数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d，（n≥2，n∈N），

那么这个数列就叫做等差数列．

⑵等差中项：若三数成等差数列

⑶通项公式：

或

⑷前项和公式：

⑸常用性质：

①若，则；

②下标为等差数列的项，仍组成等差数列；

③数列（为常数）仍为等差数列；

④若、是等差数列，则、（、是非零常数）、、，…也成等差数列．

⑤单调性：的公差为，则：

ⅰ）为递增数列；

ⅱ）为递减数列；

ⅲ）为常数列；

⑥数列{}为等差数列（p，q是常数）

⑦若等差数列的前项和，则、、…是等差数列．

【清单02】等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．

⑵等比中项：若三数成等比数列（同号）．反之不一定成立．

⑶通项公式：

⑷前项和公式：

⑸常用性质

①若，则；

②为等比数列，公比为（下标成等差数列，则对应的项成等比数列）

③数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；正项等比数列；则是公差为的等差数列；

④若是等比数列，则

是等比数列，公比依次是

⑤单调性：

为递增数列；为递减数列；

为常数列；

为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列．

⑦若等比数列的前项和，则、、…是等比数列．

考点题型1：等差数列及其性质

【典例1-1】（2024·高二·河南漯河·期末）等差数列中，，则其前100项和为（????）

A．5050 B．10010 C．10100 D．11000

【答案】C

【解析】∵，

∴，解得，

所以.

故选：C.

【典例1-2】（2024·高二·河北保定·期末）若数列为等差数列，且，则等于（????）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】D

【解析】依题意，.

故选：D

【变式1-1】（2024·高二·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（????）

A．20 B．15 C．10 D．5

【答案】B

【解析】依题意，.

故选：B

【变式1-2】（2024·高二·陕西渭南·期末）我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将九个数字填入一个的正方形方格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同（如图）．已知数列的通项公式为，现将该数列的前项填入一个的正方形方格，使其满足四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为（????）

??

A．60 B．72 C．76 D．80

【答案】C

【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为，

由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，

所以每行的数字之和为.

故选：C.

【变式1-3】（2024·高二·湖南邵阳·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（????）

A． B．1 C． D．2

【答案】B

【解析】由题可知，，则，所以，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为1，

故选：B．

【变式1-4】（2024·高二·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设等差数列的公差为，

因为，，

所以，化简得，

解得，

所以.

故选：B

【变式1-5】（2024·高二·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（????）

A．0 B．8 C．10 D．19

【答案】A

【解析】因为即，所以数列为等差数列，

因为且，所以，得，

所以.

故选：A.

考点题型2：等比数列及其性质

【典例2-1】（2024·高二·青海·期末）在等比数列中，，，则（???）

A．64 B．128 C． D．

【答案】B

【解析】由题意得，得，则.

由，得.

所以.

故选：B．

【典例2-2】（2024·高二·河北保定·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为q，

则由，，得，

解得，

故，

故选：B

【变式2-1】（2024·高二·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设等比数列的公比为，

因为，可得解得，

所以．

故选：A．

【变式2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）数列满足，则数列的前8项和为（??????）.

A．63 B．127 C．255 D．256

【答案】C

【解析】由，得，

因此数列是首项为1，公比为2的等比数列，

数列的前8项和为.

故选：C

【变式2-3】（2024·高二·云南保山·期末）设等比数列的前项的和为，若，则的近似值为（????）

A．4 B．3 C．2 D．

【答案】C

【解析】由，得，

则.

故选：