清单12 数列求和（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docxVIP

清单12数列求和（1个考点梳理+7题型解读+变式训练）

【清单01】数列求和

一．公式法

（1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法．

（2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法．

（3）一些常见的数列的前n项和：

①；

②；

③；

=4\*GB3④

二．几种数列求和的常用方法

（1）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．

（2）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．

（3）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前项和即可用错位相减法求解．

（4）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法求解．

三．常见的裂项技巧

积累裂项模型1：等差型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

（12）

积累裂项模型2：根式型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

积累裂项模型3：指数型

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6），设，易得，

于是

（7）

积累裂项模型4：对数型

积累裂项模型5：三角型

（1）

（2）

（3）

（4），

则

考点题型一：公式法

【典例1-1】（2024·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，.

(1)求的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【解析】（1）设的公比为，因为，

所以，即，

解得或（舍去），

故的通项公式为.

（2）由（1）知，设的前项和为，

则.

【典例1-2】（2024·湖南·高二校联考期中）等差数列满足，，前项和为.

(1)求数列的通项公式；

(2)求的最大值.

【解析】（1）设首项为，公差为，

因为等差数列满足，，

所以，解得，

所以；

（2）因为当时，，当时，，

所以的最大值为，

因为，

所以.

【变式1-1】（2024·浙江温州·高二乐清市知临中学校考期中）等差数列满足：首项为2，公差为是的前项和.

(1)求数列的通项公式.

(2)求数列的前项和.

【解析】（1）因为数列是首项为2公差为2的等差数列，

所以，即；

（2）因为，所以，

所以是以2为首项2为公比的等比数列，

所以，

所以

考点题型2：错位相减法

【典例2-1】（2024·高二·湖南·期末）数列的前项和为，当时，，数列满足：.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)记数列，数列的前项和为，求.

【解析】（1）由时，，知数列是等差数列，

由得，知数列的公差为1，

则，

，

当时，，且也满足上式，

，

，由为定值，知数列是等比数列.

（2）易得，

则

则

两式相减得，

化简得.

【典例2-2】（2024·高二·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中．

(1)证明为等差数列，求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和

【解析】（1）当时，，解得，

当时，由，

得，

作差得.

所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列

所以，故

（2）令

所以，

，

两式作差得

所以

【变式2-1】（2024·高二·江西新余·期末）已知公差大于0的等差数列和公比大于0的等比数列满足.

(1)求数列和的通项公式；

(2)记数列的前项和为，求证：.

【解析】（1）设数列的公差为，数列的公比为，

由，

则，

由①式平方除②式得：，得,或（舍）

故，

通项公式分别为.

（2）

，

两式相减可得

.

，

数列为递增数列，

又，.

【变式2-2】（2024·高二·辽宁·期末）已知数列满兄，，数列的前项和为，且．

(1)求数列，的通项公式，

(2)求数列的前项和为．

【解析】（1），，

数列是以为首项，为公差的等差数列，

，

；

，

当时，，即，

当时，，所以，即，

当时，，；

（2）由（1）得

，

，

作差可得，

.

【变式2-3】（2024·高二·福建·期中）设数列满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)令，求数列的前项和.

【解析】（1）依题意有，

所以，，，.

累加这个式子得，，

又，所以显然满足上式，所以.

（2）由（1）知，所以，

，

两式相减得：，

所以，

整理得.

【变式2-4】（2024·高二·江苏南通·期中）已知等比数列的前项和为，且．

(1)求；

(2)若，求数列的前项和．

【解析】（1）设等比数列的公比为，

由题意，得，解得，

∴或

（2）∵，由（1）知，，，

令??①

则?????②

得

即

所以.

考点题型3：分组求和法

【典例3-1】（2024·高二·山东青岛·期中）已知数列为等差数列，首项，公差，．

(1)证明是等比数列；

(2)求数列的前项