清单13 导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docxVIP

清单13导数的基本问题：切线、单调、极值与最值（4个考点梳理+5题型解读+变式训练）

【清单01】切线

1、在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键．

2、过点的切线方程

设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，

又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．

【清单02】单调性

1、单调性基础问题

（1）函数的单调性

函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．

（2）已知函数的单调性问题

=1\*GB3①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增；

=2\*GB3②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减．

2、讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）求根做图得结论（如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论）；

（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负）；

（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断，则观察导函数零点）；

（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导）；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段）；

3、含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域（化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连续的区间）；

（2）变号保留定号去（变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分）；

（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系）；

（5）导数图像定区间；

【清单03】极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求可导函数极值的一般步骤

（1）先确定函数的定义域；

（2）求导数；

（3）求方程的根；

（4）检验在方程的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数在这个根处取得极小值．

注①可导函数在点处取得极值的充要条件是：是导函数的变号零点，即，且在左侧与右侧，的符号导号．

②是为极值点的既不充分也不必要条件，如，，但不是极值点．另外，极值点也可以是不可导的，如函数，在极小值点是不可导的，于是有如下结论：为可导函数的极值点；但为的极值点．

【清单04】最值

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

导函数为

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；

②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点；

③函数的最值必在极值点或区间端点处取得．

考点题型1：切线的综合问题

【典例1-1】（2024·高二·甘肃临夏·期末）曲线在点处的切线方程为（???）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】已知，函数定义域为，

可得，

此时，

所以曲线在点处的切线方程为，

即；

故选：B.

【典例1-2】（2024·高二·新疆克孜勒苏·期末）已知函数的图象在点1,f1处的切线与直线垂直，则该切线的方程为（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】依题意，，则，解得，

则，

所以，即切线经过点，

则该切线的方程为，

即.

故选：C.

【变式1