清单14 导数的综合问题（清单 导图 考点 题型 变式 ）-2024-2025学年高二数学上学期期末考点（苏教版2019）（解析版）.docxVIP

清单14导数的综合问题（1个考点梳理+9题型解读+变式训练）

【清单01】导数的综合问题

1、恒成立问题

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

不等式在区间D上恒成立；

（2）若函数在区间D上不存在最大（小）值，且值域为，则

不等式在区间D上恒成立．

不等式在区间D上恒成立．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

不等式在区间D上有解；

（4）若函数在区间D上不存在最大（小）值，如值域为，则对不等式有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解

不等式在区间D上有解

（5）对于任意的，总存在，使得；

（6）对于任意的，总存在，使得；

（7）若存在，对于任意的，使得；

（8）若存在，对于任意的，使得；

（9）对于任意的，使得；

（10）对于任意的，使得；

（11）若存在，总存在，使得

（12）若存在，总存在，使得．

2、极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性．若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往．如下图所示．

图1极值点不偏移图2极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏．

3、破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．

4、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围．

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴（或直线）在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．

5、利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．

（4）对数单身狗，指数找基友

（5）凹凸反转，转化为最值问题

（6）同构变形

考点题型1：构造函数解不等式问题

【典例1-1】（2024·高二·山东聊城·期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，，则的解集为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】构造函数，，

，即函数在R上单调递减，

等价于，解得.

即的解集为.

故选：D

【典例1-2】（2024·高二·安徽安庆·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

所以不等式等价转化为不等式，即，

构造函数，则，

由题意，，所以为上的增函数，

又，所以，

所以，解得，即，

所以.

故选：B

【变式1-1】（2024·高二·天津·期末）定义在上的函数导函数为，若对任意实数x，有，且为奇函数，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设，则，

对任意实数x，有，

所以，则在上单调递减.

因为为奇函数，且的定义域为R，

所以，所以，所以.

因为，所以求不等式的解集，

即求的解集，即求的解集，

因为在上单调递减，所以的解集为，

所以不等式的解集为.

故选：B

【变式1-2】（2024·高二·江苏常州·期末）已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则，

由题意可得，当时，，即在上单调递增，

由，则，

即，故为偶函数，故在上单调递减，

则不等式可化为：，

即，则有，即，

即，即，

解得.

故选：B.

【变式1-3】（2024·高二·内蒙古·期末）已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设，，

所以函数单调递增，

，

即，得，所以，

所以不等式的解集为.

故选：D

考点题型2：证明不等式

【典例2-1】（2024·高二·