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清单13导数的基本问题:切线、单调、极值与最值(4个考点梳理+5题型解读+变式训练)
【清单01】切线
1、在点的切线方程
切线方程的计算:函数在点处的切线方程为,抓住关键.
2、过点的切线方程
设切点为,则斜率,过切点的切线方程为:,
又因为切线方程过点,所以然后解出的值.(有几个值,就有几条切线)
注意:在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.
【清单02】单调性
1、单调性基础问题
(1)函数的单调性
函数单调性的判定方法:设函数在某个区间内可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数.
(2)已知函数的单调性问题
=1\*GB3①若在某个区间上单调递增,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0);反之,要满足,才能得出在某个区间上单调递增;
=2\*GB3②若在某个区间上单调递减,则在该区间上有恒成立(但不恒等于0);反之,要满足,才能得出在某个区间上单调递减.
2、讨论单调区间问题
类型一:不含参数单调性讨论
(1)求导化简定义域(化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的区间);
(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);
(3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根,并能做出导函数与x轴位置关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论);
(4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正负);
(5)正负未知看零点(若导函数正负难判断,则观察导函数零点);
(6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零点,则求二阶导);
求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新函数再求导.
(7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函数正负区间段);
3、含参数单调性讨论
(1)求导化简定义域(化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注意是否是一个连续的区间);
(2)变号保留定号去(变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分);
(3)恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负);然后再求有效根;
(4)根的分布来定参(此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小关系);
(5)导数图像定区间;
【清单03】极值
函数在点附近有定义,如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极大值,记作.如果对附近的所有点都有,则称是函数的一个极小值,记作.极大值与极小值统称为极值,称为极值点.
求可导函数极值的一般步骤
(1)先确定函数的定义域;
(2)求导数;
(3)求方程的根;
(4)检验在方程的根的左右两侧的符号,如果在根的左侧附近为正,在右侧附近为负,那么函数在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,在右侧附近为正,那么函数在这个根处取得极小值.
注①可导函数在点处取得极值的充要条件是:是导函数的变号零点,即,且在左侧与右侧,的符号导号.
②是为极值点的既不充分也不必要条件,如,,但不是极值点.另外,极值点也可以是不可导的,如函数,在极小值点是不可导的,于是有如下结论:为可导函数的极值点;但为的极值点.
【清单04】最值
函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者;函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者.
导函数为
(1)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
(2)当时,最大值是与中的最大者;最小值是与中的最小者.
一般地,设是定义在上的函数,在内有导数,求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行:
(1)求在内的极值(极大值或极小值);
(2)将的各极值与和比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
注①函数的极值反映函数在一点附近情况,是局部函数值的比较,故极值不一定是最值;函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的,故函数的最值可能是极值,也可能是区间端点处的函数值;
②函数的极值点必是开区间的点,不能是区间的端点;
③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.
考点题型1:切线的综合问题
【典例1-1】(2024·高二·甘肃临夏·期末)曲线在点处的切线方程为(???)
A. B. C. D.
【典例1-2】(2024·高二·新疆克孜勒苏·期末)已知函数的图象在点1,f1处的切线与直线垂直,则该切线的方程为(????)
A. B.
C. D.
【变式1-1】(2024·高二·云南楚雄·期末)若直线是曲线与的公切线,则直线的方程为(????)
A. B. C. D.
【变式1-2】(2024·高二·江苏南通·阶段练习)若曲线在处的切线与曲线也相切,则的值为(???
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