2024高中数学 111任意角学案 新人教A版必修4.docVIP

2024高中数学111任意角学案新人教A版必修4

【学习要求】

1理解正角负角零角与象限角的概念

2掌握终边相同角的表示方法

【学法指导】

1解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点始边终边和旋转方向

2确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量

3学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角象限角进行定义

1角的概念

(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形

(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：

类型

定义

图示

正角

按

形成的角

负角

按

形成的角

零角

一条射线，

称它形成了一个零角

2象限角

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限

3终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和

探究点一角的概念的推广

我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量因此，从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点

问题1正角负角零角是怎样规定的？

答按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角

问题2根据角的定义，图中角α＝120°；β＝；

α＝；β＝；γ＝

问题3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成

的角

答经过10小时，时针旋转形成的角是300°，分针旋转形成的角是3600°

问题4如果你的手表快了125小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？

答将分针旋转450°或3870°即可校准

探究点二终边相同的角

今后我们常在直角坐标系内讨论角为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置终边相同的角相差360°的整数倍因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}

根据终边相同的角的概念，回答下列问题：

问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则240°

S,300°S，1020°S(用符号：∈或?填空)

问题2集合S＝{α|α＝k·360°30°，k∈Z}表示与角终边

相同的角，其中最小的正角是

问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终

边落在上

探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角

问题1终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴y轴各半轴上的角，请完成下表

终边所在的位置

角的集合

x轴正半轴

x轴负半轴

y轴正半轴

y轴负半轴

问题2下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整

α终边所在的象限

角α的集合

第一象限

第二象限

第三象限

第四象限

问题3写出终边落在x轴上的角的集合S

答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}

＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}

＝{α|α＝n·180°，n∈Z}

问题4写出终边落在y轴上的角的集合T

答T＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}

【典型例题】

例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角

(1)150°；(2)650°；(3)950°15′

解(1)因为150°＝360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角

(2)因为650°＝360°