上海市浦东新区南汇中学2024届高三上学期12月月考数学试题.docx

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上海市浦东新区南汇中学2024届高三上学期12月月考数学试题

一、填空题

1．已知A=yy=x2

2．过点(2,?3)斜率为?

3．已知P5,12在角α的终边上，则

4．已知复数z1=a+2i，z2=

5．等差数列an满足a1+a5=

6．已知函数fx=1+loga2x?3

7．已知双曲线的渐近线方程为y=±x，且右顶点与椭圆x

8．已知正实数x、y满足x+y=1，则

9．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若EM=

10．函数y=sin2

11．已知等边△ABC的边长为3，点P是其外接圆上的一个动点，则P

12．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为θ.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则cosθ的值为

二、单选题

13．若a、b∈R，则“a

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分也非必要

14．设z1

A．若|z1

B．若z1=

C．若|z1

D．若|z1

15．在正方体AB

①A

②A

③平面A1C

④平面A1C

其中正确的推断有（????）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

16．已知x1,x

①x1

②x1,x2,

A．①对，②错 B．①错，②对

C．①，②都错 D．①，②都对

三、解答题

17．如图，在几何体P?ABCD中，已知PA⊥平面ABC

（1）求证：CD⊥平面

（2）若PC与平面ABCD所成的角为π3，求点

18．已知函数fx=2sinx2cosx2+23cos

(1)求角A的大小；

(2)求△A

19．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l，1????l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到

（1）求a，b的值；

（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(

②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

20．已知椭圆Γ：x29+y24=1的左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为M，过点M且斜率为?1的直线与椭圆Γ

(1)求△P

(2)是否存在这样的直线l，使椭圆Γ中与直线MN平行的弦的中点都在l上?若存在，求直线l

(3)若直线l与线段MN相交，且四边形MPNQ的面积S∈

21．设y=fx是定义域为R的函数,如果对任意的x1,

(1)若fx=x

(2)已知y=fx的导函数fx

(3)若函数y=fx是“平缓函数”,且y=fx是以

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

A

D

C

A

1．{

【分析】解出集合A，按照集合的交运算法则进行运算即可.

【详解】因为A=yy

所以A∩

故答案为：{x

2．4

【分析】

根据直线的点斜式,再分别求出截距，计算面积及即得；

【详解】由题可得直线l方程为y??3

令x=0，则y=?2

则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为12

故答案为:4.

3．?

【分析】先由三角函数的定义求出cosα

【详解】因为P5,12

所以由三角函数的定义可得cos

则cosπ

故答案为：?

4．3

【分析】根据复数的乘法运算，先求z1

【详解】因为复数z1=a

所以z1

又z1?z2是纯虚数，所以

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查由复数类型求参数的问题，涉及复数的乘法运算，属于基础题型.

5．28

【分析】借助于等差数列的性质以及前n项和公式求解即可.

【详解】因为等差数列an满足a1+

所以a3+a7=2a

所以i=

故答案为：28.

6．3

【解析】由条件利用loga1+1=1为定值，求出n的值，可得

【详解】解：令2x?3

故f2

故m=2，

故m+

故答案为：3．

7．x

【分析】根据渐近线可得ba

【详解】设双曲线的方程是x2

∵双曲线的渐近线方程是y=±x

由椭圆x24+y

双曲线方程中的a=1

解①②得：a2=1，b2=

故答案为：x2

8．8

【分析】利用常值代换法将所求式中的4替换成4(

【详解】因正实数x、y满足x+y=1

当且仅当yx=4xy时，等号成立，由x+y

故答案为：8.

9．?

【分析】设直线MN的方程为x=my+1，与抛物线方程联立，