2024—2025学年北京市第十九中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京市第十九中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.已知向量，，且，则（）

A．

B．

C．

D．

(★)2.如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（）

A．

B．

C．

D．

(★★)3.已知向量，，点为线段中点，则（）

A．1

B．

C．

D．

(★★)4.已知直线，直线和平面，则下列四个命题中正确的是（）

A．若，，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

(★★)5.已知正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的侧面积和体积分别为（）

A．16，

B．16，

C．8，

D．8，

(★)6.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（）

A．充要条件

B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件

D．必要不充分条件

(★★★)7.已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（）

A．平面平面

B．平面平面

C．平面、平面相交但不垂直

D．以上均有可能

(★★★)8.金刚石也被称作钻石，是天然存在的最硬的物质，可以用来切割玻璃，也用作钻探机的钻头．金刚石经常呈现如图所示的“正八面体”外形．正八面体由八个全等的等边三角形围成，体现了数学的对称美．下面给出四个结论：

①平面；

②；

③二面角的平面角余弦值为；

④过点至少存在一条直线与正八面体的各个面所成角均相等．

其中所有正确结论的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

(★★★)9.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著．其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面是矩形，假设屋脊没有歪斜，即中点在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心O，PQ//AB，AB=4，AD=3，PQ=2，OR=1(长度单位：丈)．则楔体的体积为(体积单位：立方丈)（）

A．10

B．8

C．

D．

(★★★)10.如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上的动点．给出下列结论错误的是（）

A．三棱锥体积为定值

B．存在唯一点使

C．若，则点轨迹的长度为2

D．平面截正方体表面得到的截面所有边长之和为

二、填空题

(★)11.若直线的方向向量是，平面的法向量是，则这条直线和这个平面的位置关系是______．（填写“面内、相交、平行”中的一种）

(★★★)12.如果一个圆锥的底面半径为3，侧面积为，那么圆锥的母线与底面所成的夹角等于______．（填写具体的角度大小）

(★★★)13.如图，在正四面体中，所有棱长均为2，若，，，，，则______；______．

(★★★)14.如图，在正四棱柱中，．若是的中点，则与所成角的余弦值为______；正四棱柱的外接球表面积为______．

(★★)15.如图，在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为______．

(★★★★)16.如图，已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和，为的中点，在平面的射影为，则在翻折过程中，给出下列四个结论：

①平面；

②与的夹角为定值；

③三棱锥体积最大值为；

④点的轨迹的长度为1．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题

(★★★)17.如图，在直三棱柱中，，，．

(1)求直线与直线所成角的余弦值；

(2)求直线与平面所成角的正弦值；

(3)求点到平面的距离．

(★★★)18.如图，在四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，侧棱.

（1）求证：平面；

（2）求证：；

（3）求二面角的余弦值.

(★★★)19.如图，在多面体中，梯形与平行四边形所在平面互相垂直，，，，，.

（1）求证：平面；

（2）判断线段上是否