2024—2025学年北京工业大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷.docVIP

2024—2025学年北京工业大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷

一、单选题

(★)1.直线的斜率为（）

A．0

B．2

C．

D．不存在

(★)2.空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（）

A．

B．

C．

D．

(★)3.已知点到直线的距离为，则等于（）

A．

B．

C．

D．

(★★)4.已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★★)5.已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（）

A．

B．

C．

D．

(★)6.若直线是圆的一条对称轴，则（）

A．

B．

C．1

D．-1

(★★)7.已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（）

A．3

B．

C．

D．

(★★)8.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）

A．0个

B．至多有一个

C．1个

D．2个

(★★★)9.若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（）

A．

B．

C．

D．

(★★★)10.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：

①曲线的方程为

②曲线上存在点，使得到点距离为6；

③曲线上存在点，使得到直线的距离为；

④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．

其中所有正确结论的个数是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

二、填空题

(★)11.双曲线的两条渐近线的方程为_____.

(★★)12.抛物线的焦点坐标为_________.

(★★★)13.设，向量，，，且，，则__________.

(★★)14.众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____．

(★★)15.在中,,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率__________.

(★★★)16.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有_____．

①．②．③．④．若，则

三、解答题

(★★★)17.在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题．

(1)求的长；

(2)证明：平面．

(★★★)18.已知直线和圆，

(1)m为何值时，直线与圆没有公共点；

(2)m为何值时，截得的弦长为2；

(3)若直线和圆交于A，B两点，此时，求m的值．

(★★★)19.如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由．

(★★★)20.已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由．

(★★★)21.对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值.

(1)已知，.

①写出，写出（用含的式子表示）；

②当，写出的最小值及此时x的值；

(2)设，，求