2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-椭圆及其性质五年高考(带答案解析).docxVIP

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第十章圆锥曲线

10.1椭圆及其性质

五年高考

考点一椭圆的定义和标准方程

1.(2024全国甲,11,5分,综合性)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13

A.x2

C.x23+

答案B

2.(2024新高考Ⅰ,16,5分,综合性)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为

答案13

3.(2019课标Ⅲ,15,5分,基础性)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF

答案(3,15)

4.(2019浙江,15,4分,综合性)已知椭圆x29+

答案15

5.(2018浙江,17,4分,应用性)已知点P(0,1),椭圆x24+y2=m(m1)上两点A,B满足AP=2

答案5

6.(2024课标Ⅲ,21,12分,综合性)已知椭圆C:x225+

(1)求C的方程;

(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.

解析(1)由题设可得25-m25=154

(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ0,由题意知yP0.

由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-1y

所以|BP|=yP1+y

因为|BP|=|BQ|,

所以yP=1,将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.

由直线BP的方程得yQ=2或8.

所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).

|P1Q1|=10,直线P1Q1的方程为y=13x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为102,故△AP1Q1的面积为

|P2Q2|=130,直线P2Q2的方程为y=79x+103,点A到直线P2Q2的距离为13026,故△AP2Q2的面积为

考点二椭圆的几何性质

1.(2018课标Ⅰ,4,5分,基础性)已知椭圆C:x2

A.1

答案C

2.(2018课标Ⅱ,11,5分,基础性)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()

A.1-32

答案D

3.(2017课标Ⅰ,12,5分,综合性)设A,B是椭圆C:x2

A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,3]∪[9,+∞)

C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,3]∪[4,+∞)

答案A

4.(2024全国甲,16,5分,综合性)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF

答案8

5.(2024北京,20,15分,综合性)已知椭圆E:x2a2

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点P(0,-3)作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线AB,AC分别与直线y=-3交于点M,N.当|PM|+|PN|≤15时,求k的取值范围.

解析(1)由题设,b=2,12×2a×2b=45.所以a=5

(2)直线BC的方程为y=kx-3.由y=kx-3,4x2+5y2=20得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由Δ=(-30k)2-4×(5k2+4)×25=400·(k2-1)0,得|k|1.设B(x1,y1),C(x2,y2),则x1+x2=30k5k2+4,x1x2=255k2+4.直线AB的方程为y=y1+2x1x-2.令y=-3,得点M的横坐标为xM

6.(2024课标Ⅱ,19,12分,综合性)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C

(1)求C1的离心率;

(2)若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12,求C1与C2的标准方程.

解析(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=a2

不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为b2a,-

由|CD|=43|AB|得4c=8b2

解得ca=-2(舍去)或ca=12

(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c2+y2

由已知得3c+c+c+c=12,即c=2.所以C1的标准方程为x216+y2

7.(2019课标Ⅱ,20,12分,综合性)已知F1,F2是椭圆C:x2

(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;

(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.

解析(1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,

故C的离心率e=ca

(