上海市松江区2022-2023学年高一下学期期中数学试卷(原卷).docxVIP

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松江区高一（下）期中考试数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题，每题4分，第7~12题，每题5分）

1.角第__________象限角．

2.若角的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则的值为___________.

3.已知，则的值为_____.

4.满足，的角为______．

5.化简______．

6.已知函数是偶函数，则满足条件的所有θ的值为______．

7.已知，都锐角，，，则___________．

8.已知函数（，，）的部分图象如图所示，则此函数的表达式为______．

9.建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为______．

10已知、，且，则________．

11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，且满足条件的有两解，设，设边a的所有可能取值构成集合D，则函数的值域为______．

12.定义：对于任意实数，，记，（常数），记，若对于任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是______．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）

13.“”是“，”的（）

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

14.为了得到的图象，只需将函数的图象（）

A向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

15.在中，三边长是，若，则的形状是（）

A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上都有可能

16.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且，已知命题：①；②函数在上有4049个零点，则以下判断正确的是（）

A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题

三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

17.（1）已知，求的值；

（2）证明恒等式：．

18.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且．

（1）求的值；

（2）若的面积为，且，求a的值．

19.松江区计划在科创云声召开一次展览会，需要搭建一个三角形展台．如图所示，OA、OB为展台固定墙壁（墙壁OA、OB足够长），两面形成120°角，现有两个方案：

方案一：在墙壁OB上取两点P、Q，用长度为的移动围挡围成一个以PQ为斜边的直角（只有MP，MQ两边为移动围挡）；

方案二：在墙壁OA、OB上分别取点E、F用长度为的移动围挡EF依托墙壁围成；分别求出两个方案下展台面积的最大值；若现有材料下所围成展台的面积越大方案越好，请问选择哪个方案？

20.已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求函数的单调减区间；

（3）当时，记，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

21.已知函数的定义域为D，若对任意的实数，都有成立（等号当且仅当时成立），则称函数是D上的凸函数，并且凸函数具有以下性质：对任意的实数，都有（，）成立（等号当且仅当时成立）．

（1）判断函数、是否为凸函数，并证明你的结论；

（2）若函数是定义域为R的奇函数，证明：不是R上的凸函数；

（3）求证：函数是上凸函数，并求的最大值（其中A、B、C是的三个内角）．