初中九年级数学优质课公开课教案教学设计矩形（提高）知识讲解.pdf

矩形（提高）

【学习目标】

1.理解矩形的概念.

2.掌握矩形的性质定理与判定定理.

【要点梳理】

要点一、矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是

一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

要点二、矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线

可将矩形分成完全全等的两部分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对

称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形

的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角

看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

要点三、矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判

定平行四边形是矩形.

要点四、直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角

三角形，对一般三角形不可使用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三

角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的

直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

【典型例题】

类型一、矩形的性质

1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩

形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，

容易求得∠PBA和∠PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△

PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．

【答案与解析】

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°．

∵△PBC和△QCD是等边三角形，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，

∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．

∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°

(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC．

∵△PBC和△QCD是等边三角形，

∴PB＝PC，QC＝DC＝AB．

∵AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．

∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ．

【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论

作论据即可．

举一反三：

【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点处，点A落在

B

点处．

A

(1)求证：；

BEBF

(2)设AE＝，AB＝，BF＝，试猜想之间有何等量关系，并给予证明