6.3　6.3.1　平面向量基本定理.pptx

6.3平面向量基本定理及坐标表示

6.3.1平面向量基本定理;课程标准：理解平面向量基本定理及其意义．

教学重点：平面向量基本定理的探究，用基底表示平面中的任一向量．

教学难点：对平面向量基本定理的理解及其应用．

核心素养：1.通过平面向量基本定理的推导过程培养数学抽象素养和逻辑推理素养.2.通过平面向量基本定理的应用进一步提升逻辑推理素养.;1;不共线向量;1．对基底的理解

(1)基底的两个主要特征

①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．;2．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且这种表现形式是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．;3．平面向量基本定理的应用

(1)平面向量基本定理唯一性的应用;(2)特殊情况

设{e1，e2}是平面内一个基底，;1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面向量的一个基底{e1，e2}中，e1，e2一定都是非零向量．()

(2)若a，b是平面内两个不共线向量，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.()

(3)在平面向量基本定理中，若a∥e1，则λ2＝0；若a∥e2，则λ1＝0.()

(4)表示同一平面内所有向量的基底是唯一的．();2．做一做

(1)设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()

A．{e1，e2} B．{e1＋e2,3e1＋3e2}

C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2};答案;(3)已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝______，y＝______.;2;例1(1)下列说法中正确的是()

①一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②零向量不可作为基底中的向量；③对于平面内的任一向量a和一个基底{e1，e2}，使a＝λe1＋μe2成立的实数对一定是唯一的．

A．② B．①②③

C．②③ D??①③;其中可作为这个平行四边形所在平面的一个基底的是()

A．①② B．①③

C．①④ D．③④; 能作为基底的条件

考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这个基底唯一表示．;[跟踪训练1](2023·安徽阜阳高一校考阶段练习)设{e1，e2}是平面内一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()

A．{e1＋e2，e1－e2}

B．{3e1－2e2,4e2－6e1}

C．{e1＋2e2，e2＋2e1}

D．{e2，e2＋e1};;解;解; 用基底表示向量的依据和两个“模型”

(1)依据

①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；

②向量减法的几何意义，向量的数乘的几何意义．;(2)模型

;解;;解析;答案;(2)如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.;解; 平面向量基本定理的作用及注意点

(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算．

(2)解题时要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，构建方程(组)，利用基底表示向量的唯一性求出未知向量．;解;解;(2)用向量法证明三角形的三条中线交于一点．;解;3;A．a－b B．2(b－a)

C．2(a－b) D．b－a;解析;答案;解析;3．(多选){e1，e2}是平面内一个基底，下面说法正确的是()

A．若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0

B．空间内任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2为实数)

C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在该平面内;解析;答案;解析;解;解;4;一、选择题;答案;解析;答案;解析;答案;解析;答案;解析;解析;答案;答案;解析;三、解答题

9．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.

(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；

(2)以{a，b}为基底，表示向量c＝3e1－e2；

(3)若4e