余弦定理-教学课件.pptx

余弦定理

学习目标XUEXIMUBIAO1.掌握余弦定理的表示形式及推论、证明方法.2.会运用余弦定理解决基本的解三角形问题.3.能用余弦定理解决简单的实际问题.

内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练

1知识梳理PARTONE

知识点一余弦定理在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形任何一边的平方等于________________________________________________________公式表达a2＝________________，b2＝________________，c2＝__________________其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC

余弦定理推论cosA＝______________，cosB＝______________，cosC＝______________思考在a2＝b2＋c2－2bccosA中，若A＝90°，公式会变成什么？答案a2＝b2＋c2，即勾股定理.

知识点二解三角形我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作.元素解三角形

1.余弦定理适用于任何三角形.()2.在△ABC中，已知两边及夹角时，△ABC不一定唯一.()3.在△ABC中，若a2＋b2－c2＝0，则角C为直角.()4.在△ABC中，若a2＋b2－c20，则角C为钝角.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU×√√×

2题型探究PARTTWO

一、已知两边及一角解三角形解由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA

解由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.当a＝3时，A＝30°，C＝120°；A＝90°，C＝60°.

反思感悟已知三角形的两边及一角解三角形的方法已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角.若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边.

2解得c＝2.

3解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即3b2－8b－3＝0，

二、已知三边解三角形

反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角.

跟踪训练2在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝3∶2∶4，则cosC的值为√解析由题意可设a＝3k(k0)，则b＝2k，c＝4k，

三、余弦定理的简单应用例3(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是A.45° B.60°C.90° D.135°√又0°B180°，所以B＝45°.

(2)在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试判断该三角形的形状.解由acosB＋acosC＝b＋c并结合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.

反思感悟(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系.②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系.(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论①△ABC为直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC为锐角三角形?a2＋b2c2，且b2＋c2a2，且c2＋a2b2.③△ABC为钝角三角形?a2＋b2c2或b2＋c2a2或c2＋a2b2.

跟踪训练3在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形√解析在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，所以b＝c，结合A＝60°，可得△ABC一定是等边三角形.

四、余弦定理在实际问题中的应用例4如图所示为起重机装置示意图.支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，求起吊