正弦定理的应用.pptx

正弦定理的应用

学习目标XUEXIMUBIAO1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能.2.理解三角形面积公式及解三角形的含义.3.能用正弦定理解决简单的实际问题.

内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练

1知识梳理PARTONE

知识点一三角形面积公式在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则△ABC的面积S△ABC＝＝＝.

知识点二仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角.目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.

2.在三角形中已知两边和一角就能求三角形的面积.()3.三角形中已知三边无法求其面积.()4.仰角是视线与视线在水平面的射影的夹角.()思考辨析判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√×

2题型探究PARTTWO

例1(1)已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是A.等腰三角形 B.等边三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形一、判断三角形形状解析由正弦定理得，acosB＝bcosA?sinAcosB＝sinBcosA?sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，即A＝B，即△ABC为等腰三角形.√

(2)在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.

∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角.∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°＜B－C＜90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形.

反思感悟判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理、正弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)统一成边(或角)的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解.

跟踪训练1(1)在△ABC中，已知3b＝2asinB，且cosB＝cosC，角A是锐角，则△ABC的形状是A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形√

又角A是锐角，所以A＝60°.又cosB＝cosC，且B，C都为三角形的内角，所以B＝C.故△ABC为等边三角形.

(2)在△ABC中，若acosC＋ccosA＝bsinB，则此三角形为A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形√解析在△ABC中，由acosC＋ccosA＝bsinB，以及正弦定理可知，sinAcosC＋sinCcosA＝sin2B，即sin(A＋C)＝sinB＝sin2B，∵0Bπ，∴sinB≠0，

二、三角形面积公式及其应用√√

又AB·sinBACAB，故该三角形有两解，所以C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，当C＝120°时，A＝30°，

1∶4得sinB∶sinC＝b∶c＝1∶4.

反思感悟

∴0°C90°，

三、用正弦定理解决简单的实际问题例3如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB为________m.

解析方法一设AB＝xm，则BC＝xm.方法二∵∠ACB＝45°，∴∠ACD＝135°，∴∠CAD＝180°－135°－30°＝15°.

反思感悟在运用正弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解.

跟踪训练3要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A，B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m，由此可得河宽约为(参考数据：≈2.45，sin75°≈0.97)A.170m B.98mC.95m D.86m√

解析在△ABC中，AB＝120，∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝60°，即河宽约为95m.

3随堂演练PARTTHREE

12345√

2.在△ABC中，a＝bsinA，则△ABC一定