3.3.2 抛物线的简单几何性质-2021-2022学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）.doc

高二数学《考点?题型?技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册)

第三章：圆锥曲线的方程

3．3.2抛物线的简单几何性质

【考点梳理】

考点一抛物线的简单几何性质

标准方程

y2＝2px(p0)

y2＝－2px(p0)

x2＝2py(p0)

x2＝－2py(p0)

图形

范围

x≥0，y∈R

x≤0，y∈R

y≥0，x∈R

y≤0，x∈R

对称轴

x轴

x轴

y轴

y轴

焦点坐标

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))

Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))

准线方程

x＝－eq\f(p,2)

x＝eq\f(p,2)

y＝－eq\f(p,2)

y＝eq\f(p,2)

顶点坐标

O(0,0)

离心率

e＝1

通径长

2p

考点二直线与抛物线的位置关系

直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．

考点三直线和抛物线

1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p.

2．抛物线的焦点弦

过抛物线y2＝2px(p0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

①y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；②eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝x1＋x2＋p；③eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AF)))＋eq\f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(BF)))＝eq\f(2,p).

重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）

（1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则；

（3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则；

（4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则.

【题型归纳】

题型一：抛物线的简单性质（顶点、焦点）

1．（2020·全国高二）对抛物线，下列描述正确的是（）

A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为

C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为

2．（2021·全国高二（文））点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（）

A． B．或

C． D．或

3．（2017·河南信阳·高二期末（理））抛物线的焦点坐标为

A． B． C． D．

题型二：抛物线的对称性

4．（2021·全国高二单元测试）以抛物线的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点，已知，，则抛物线的焦点到准线的距离为（）

A．2 B．4 C．6 D．8

5．（2021·中国农业大学附属中学）若正三角形的顶点都在抛物线上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是（）

A． B． C． D．

6．（2021·全国高二课时练习）是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（）

A． B． C． D．

题型三：抛物线的弦长问题

7．（2021·全国高二课时练习）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点（，的横坐标不相等），弦的垂直平分线交轴于点，若，则（）

A．14 B．16 C．18 D．20

8．（2021·马鞍山市第二中学郑蒲港分校高二开学考试（文））过拋物线：焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，，O为坐标原点，且△的面积为，则抛物线C的标准方程为（）

A． B． C． D．

9．（2021·河北运河·沧州市一中高二开学考试）已知直线与抛物线：相交于，两点，为抛物线的焦点．若，则等于（）

A．7 B．8 C．9 D．10

题型四：抛物线的焦点弦性质问题

10．（2021·全国高二课时练习）已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，过其焦点作直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点，，，且，则该抛物线的方程为（）

A． B． C． D．

11．（2020·江苏高二课前预习）已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，若直线的斜率为1，则弦的长为（）

A．4 B．6 C