4.1 数列的概念-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第二册）.docx

4.1数列的概念

【考点梳理】

考点一数列及其有关概念

1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．

2.数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．

考点二数列的分类

分类标准

名称

含义

按项的个数

有穷数列

项数有限的数列

无穷数列

项数无限的数列

考点三函数与数列的关系

数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．

考点四数列的单调性

递增数列

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列

递减数列

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列

常数列

各项都相等的数列

考点五通项公式

1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．

考点六数列的递推公式

如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式．

考点七数列的前n项和Sn与an的关系

重难点大规律归纳

把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.

2．an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))

(1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集{1,2，…，n}这一条件．

(2)可以利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≤an，,an≥an＋1，))找到数列的最大项；利用不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an－1≥an，,an≤an＋1，))找到数列的最小项．

【题型归纳】

题型一:数列的有关概念和分类

1．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二）下列四个选项中，不正确的是（????）

A．数列的图象是一群孤立的点

B．数列1，0，1，0，…与数列0，1，0，1，…是同一数列

C．数列，，，，…的一个通项公式是

D．数列，，…，是递减数列

2．（2022·全国·高二）下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数；

②数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点；

③数列的项数是无限的；

④数列通项的表达式是唯一的．

其中正确的是（????）．

A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④

3．（2022·全国·高二）下列有关数列的说法正确的是（????）

A．同一数列的任意两项均不可能相同

B．数列，，与数列，，是同一个数列

C．数列1，3，5，7可表示为

D．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列

题型二：判断或者写出数列的项

4．（2022·北京·高二期末）已知数列的首项为，且满足，则此数列的第3项是（????）

A．4 B．12 C．24 D．32

5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）若数列的通项公式是，则（????）

A． B． C．15 D．16

6．（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）已知数列满足，数列满足，若将这两个数列中相同的项按从小到大的顺序排列，组成新数列，则（????）

A．64 B．100 C．121 D．169

题型三：根据数列的单调性求数列的最大（小）项数

7．（2022·全国·高二课时练习）已知数列满足，为正整数，则该数列的最大值是（????）

A． B． C． D．

8．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）已知数列满足，则数列的最大项为（????）．

A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项

9．（2022·北京·牛栏山一中高二期中）已知数列的通项公式为．若数列的前n项和为，则取得最大值时n的值为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

题型四：由递推公式求数列的指定项

10．（2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试）已知数列满足，，则（????）

A． B． C． D．

11．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知数列满足，则（????）

A． B． C． D．

12．（2022·福建省福安市第一中学高二阶段练习）数列满足，，则等于（??