4.1 指数（六大题型）（原卷版）.docx

4．1指数

课程标准

学习目标

1、理解n次方根、n次根式的概念．

2、能正确运用根式运算性质化简、求值．

3、体会分类讨论思想、符号化思想的作用．

1、数学抽象：根式的概念，分数指数幂的概念的掌握

2、逻辑推理：根式概念与方根概念二者之间的关系

3、数字运算：掌握有理数指数幂的运算性质，并能运

用性质进行计算和化简

4、直观想象：让学生感受由特殊到一般的数学思想方法

5、数学建模：通过对实际问题的探究过程，感受应用

数学解決问题的方法，理解分类讨论思想、化归与转化的思想在数学中的应用．

知识点01整数指数幂的概念及运算性质

1、整数指数幂的概念

2、运算法则

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

【即学即练1】（2023·全国·高一专题练习）

知识点02根式的概念和运算法则

1、次方根的定义：

若，则称为的次方根．

为奇数时，正数的奇次方根有一个，是正数，记为；负数的奇次方根有一个，是负数，记为；露的奇次方根为零，记为．

为偶数时，正数的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为．

2、两个等式

（1）当且时，；

（2）

知识点诠释：

①要注意上述等式在形式上的联系与区别；

②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．

【即学即练2】（2023·河北石家庄·高一校考阶段练习）若，则.

知识点03分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定，，，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

【即学即练3】（2023·江苏·高一专题练习）化简的值为.

知识点04有理数指数幂的运算

1、有理数指数幂的运算性质

（1）

（2）

（3）

当，为无理数时，是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．

知识点诠释：

（1）根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；

（2）根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换．如；

（3）幂指数不能随便约分．如．

2、指数幂的一般运算步骤

有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：，，，，的运用，能够简化运算．

【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）（1）已知，求的值；

（2）已知，，求的值．

题型一：由根式的意义求范围

例1．（2023·全国·高一专题练习）若，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

例2．（2023·江苏·高一专题练习）若有意义，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

例3．（2023·全国·高一专题练习）若有意义，则的取值范围是（????）

A．， B．，，

C．，， D．，，

变式1．（2023·河北石家庄·高一石家庄市第九中学校考期中）若有意义，则x的取值范围是（????）

A．x≥2 B．x≤3

C．2≤x≤3 D．x∈R

变式2．（2023·高一课时练习）若有意义，则x的取值范围是（????）

A．且 B． C． D．

【方法技巧与总结】

使根式有意义

题型二：利用根式的性质化简或求值

例4．（2023·高一校考课时练习）当有意义时，化简的结果是（????）

A．2x－5 B．－2x－1

C．－1 D．5－2x

例5．（2023·高一课时练习）计算下列各式．

（1）＝；

（2）＝；

（3）＝.

例6．（2023·江苏·高一专题练习）使得等式成立的实数a的值为．

变式3．（2023·高一课时练习）已知，化简．

变式4．（2023·高一课时练习）＝．

【方法技巧与总结】

此类问题应熟练应用．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．

题型三：有限制条件的根式的化简

例7．（2022·上海·高一专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围.

例8．（2022·全国·高一专题练习）已知，化简：______．

例9．（2022·全国·高一专题练习）把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（????）

A． B． C． D．

变式5．（2022·全国·高一专题练习）若满足关系+=+，则的值为_______________．

变式6．（2022·全国·高一课前预习）求下列各式的值；

(1)；

(2)．

【方法技巧与总结】

对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．化