4.1 第1课时 根式（学案）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）.docx

4.1指数

第1课时根式

【学习目标】

课程标准

学科素养

1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)

2．能利用根式的性质对根式进行化简、运算．(重点、难点)

1.数学抽象

2.数学运算

【自主学习】

n次方根

1.a的n次方根的定义

一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.

2.a的n次方根的表示

n的奇偶性

a的n次方根的表示符号

a的取值范围

n为奇数

eq\r(n,a)

a∈R

n为偶数

±eq\r(n,a)

[0，＋∞)

注意：负数没有偶次方根．

n次根式

1.根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做，a叫做被开方数．

2.根式的性质

(1)eq\r(n,0)＝(n∈N*，且n1)；(2)(eq\r(n,a))n＝(n∈N*，且n1)；

(3)eq\r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)；(4)eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0，))(n为大于1的偶数)．

思考：若x4＝3，这样的x有几个，如何表示？

【小试牛刀】

1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)任意实数的奇次方根只有一个．()

(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()

(3)当n∈N*时，(eq\r(n,－2))n＝－2.()

(4)eq\r(?π－4?2)＝π－4.()

2.m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()

A.eq\r(4,m2)B．eq\r(5,m)C.eq\r(6,m) D．eq\r(5,－m)

【经典例题】

题型一根式的概念

点拨：n(n1)次方根的个数及符号的确定

(1)正数的偶次方根有两个且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个．

(2)根式eq\r(n,a)的符号由根指数n的奇偶性及被开方数a的符号共同确定：

①当n为偶数时，eq\r(n,a)为非负实数；

②当n为奇数时，eq\r(n,a)的符号与a的符号一致．

例1下列说法正确的个数是()

①16的4次方根是2；②eq\r(4,16)的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，eq\r(n,a)对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，eq\r(n,a)只有当a≥0时才有意义．

A．1B．2C．3 D．4

【跟踪训练】1已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：

①eq\r(6,?－3?2n)；②eq\r(5,a2)；③eq\r(6,?－5?2n＋1)；④eq\r(9,－a2)，其中无意义的有()

A．1个B．2个C．3个D．0个

题型二利用根式的性质化简求值

点拨：正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n

1.(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，依据n的奇偶性可知a的范围；

2.eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．

例2化简下列各式：

(1)eq\r(5,?－2?5)＋(eq\r(5,?－2?))5；(2)eq\r(6,?－2?6)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,?x＋2?4).

【跟踪训练】2计算下列各式的值：

(1)eq\r(3,?－4?3)；(2)eq\r(6,?3－π?6)；(3)eq\r(3,?1＋\r(2)?3)＋eq\r(4,?1－\r(2)?4)；(4)eq\r(4,?2x＋y?4).

题型三有条件根式的化简

点拨：

1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

2.有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

例3设－3＜x＜3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．

【跟踪训练】3若eq\r(9a2－6a＋1)＝3a－1，求a的取值范围．

【当堂达标】

1.以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是正数B.负数的n次方根是负数

C.0的n次方根是0(n∈N*)D.a的n次方根是eq\r(n,a)

2.下列各式正确的是()

A.eq\r(?－3?2)＝－3B.eq\r(a2)＝aC.eq\r(22)＝2 D.eq\r(3,?－2?3)＝2

3.81的4次方根是()

A．2B．±2