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第3课时直线和椭圆
【核心考点·分类突破】
考点一直线与椭圆位置关系的判断
22
[例1](1)(2024·长沙模拟)椭圆+=1与直线y=k(x-1)的位置关系是()
82
A.相离B.相交
C.相切D.无法确定
【解析】选B.直线过定点M(1,0)在椭圆内,故直线与椭圆相交.
22
(2)(2024·福州模拟)当m取何值时,直线l:y=x+m与椭圆9x+16y=144.
①无公共点;
=+
【解析】①依题意,联立{92+162=144 ,
22
消去y,得25x+32mx+16m-144=0,
222
所以Δ=(32m)-4×25×(16m-144)=-576m+14400,
22
要使直线l:y=x+m与椭圆9x+16y=144无公共点,
2
则Δ0,即-576m+144000,解得m-5或m5,
所以当m-5或m5时,直线和椭圆无公共点.
②有且仅有一个公共点;
22
【解析】②要使直线l:y=x+m与椭圆9x+16y=144有且仅有一个公共点,
2
则Δ=0,即-576m+14400=0,解得m=±5,所以当m=±5时,直线和椭圆有且仅有一
个公共点.
③有两个公共点.
22
【解析】③要使直线l:y=x+m与椭圆9x+16y=144有两个公共点,
2
则Δ0,即-576m+144000,解得-5m5,
所以当-5m5时,直线和椭圆有两个公共点.
解题技法
判断直线与椭圆位置关系的方法
(1)一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数.
(2)对于过定点的直线,也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆公共
点个数.
对点训练
22
1.直线y=2x-1与椭圆+=1的位置关系是()
94
A.相交B.相切
C.相离D.不确定
22
0(-1)1
【解析】选A.因为+=1,所以(0,-1)在椭圆内,
944
22
因为y=2x-1恒过点(0,-1),所以直线y=2x-1与椭圆+=1相交.
94
22
22
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