第九章　第十节　圆锥曲线中的最值、范围问题.docxVIP

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第十节圆锥曲线中的最值、范围问题

【核心考点·分类突破】

考点一最值问题

角度1运用基本不等式法求最值

[例1](2024·重庆模拟)已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F(1,0),过点F作直线l交抛物线于A,B两点,则|AF|4-9

【解析】抛物线的焦点坐标为(p2,0)

因为焦点为F(1,0),所以p2=1,得p=2,即抛物线方程为y2=4x

当AB⊥x轴时,x=1,此时y2=4,y=±2,

即A(1,2),B(1,-2),则|AF|=|BF|=2,|AF|4-9|BF

当AB不垂直x轴时,设斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),

则直线AB的方程为y=k(x-1),(k≠0)代入y2=4x得k2(x-1)2=4x,

即k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

则x1+x2=2k2+4k2,x1x2=1,过A,B

则|AF|=|AM|=x1+1,|BF|=|BN|=x2+1,1|AF|+1|BF|=11+x

=2k

则1|BF|

则|AF|4-9|BF|=|AF|4-9(1-1|

当且仅当|AF|4=9

故|AF|4

综上可知:AF4-9|

答案:-6

角度2构造目标函数求最值

[例2](2021·全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

【解析】(1)焦点F0,p2到x2+(y+4)2=1的最短距离为p2

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

【解析】(2)抛物线y=14x2

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),

则由y=14x2得y=x

所以直线PA:y=12x1(x-x1)+y1=12x1x-14x12=12x1x-y1,同理可得直线PB:y=12x2x-y2,且

lPA,lPB都过点P(x0,y0

故直线AB:y0=12x0x-y,即y=12x0x-y

联立y

得x2-2x0x+4y0=0,Δ=4x02-16y

所以|AB|=1+x024·4x02-16y0=4+

所以S△PAB=12|AB|·d=12|x02-4y0|·x02-4y0=12(x02-4y0)32=12(-y02-12

【命题意图】本题为抛物线与圆的综合题,考查抛物线及圆的相关性质.考查逻辑思维能力、运算求解能力.

解题技法

求圆锥曲线中最值的常用方法

1.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;

2.代数法:把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.

对点训练

1.已知平面内一动点M与两定点B1(0,-1),B2(0,1)的连线的斜率之积为-12

(1)求动点M的轨迹E的方程;

【解析】(1)设M的坐标为(x,y),

依题意得y+1x·y-1x=-12,化简得x2

(2)设直线l:y=x+m与轨迹E交于A,B两点,线段AB的垂直平分线交x轴于点P,当m变化时,求△PAB面积的最大值.

【解析】(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立x

消去y,得3x2+4mx+2m2-2=0,

所以x1+x2=-4m3,x1x2=2m2-23,且Δ=(4

即-3m3,且m≠-1,0,1.

设AB中点为C,点C横坐标为xC=x1+x22=-2m3,yC=xC+m=m3,所以线段AB的垂直平分线方程为y-m3=-(x+2m3),所以点P的坐标为(-m

由弦长公式得|AB|=2·(x1+x2)2-4x1x2=23·24-8m2,所以S△

当且仅当m2=32,即m=±6

经检验m=±62

所以△PAB面积的最大值为23

2.(2024·景德镇模拟)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右顶点分别为A,B,且焦距为2.点P在椭圆上且异于A,B两点,若直线

(1)求椭圆C的标准方程;

【解析】(1)由题意知,A(-a,0),B(a,0),

设P(x,y),

则kPA·kPB=yx+a·yx-a=y2x2

又a2-b2=c2=1,所以a2=4,b2=3,

所以椭圆C的标准方程为x24+y

(2)过点F(-1,0)作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点,直线m的方程为x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E.求△OEN面积的最大值.

【解析】(2)设直线MN:x=ty-1,M(x1,y1),N(x2,y2),则E(-4,y1),

由x=ty-1x24+y

显然Δ0,所以y1+y2=6t3t2+4,y1

所以-2ty1y2=3(y1+y2),又kEN=y2