第九章　第十一节　圆锥曲线中的存在性问题.pdfVIP

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看比例，答案解析附后。板块。

第十一节圆锥曲线中的存在性问题

【核心考点·分类突破】

考点一直线的存在性问题

11

22

[例1](2024·成都模拟)已知圆C:(x-1)+y=,一动圆与直线x=-相切且与圆C外

42

.

(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程;

11

22

【解析】(1)由题意知圆C:(x-1)+y=的圆心C(1,0),半径r=.

42

1

设P(x,y),易知点P在直线x=-右侧,

2

11

所以P到直线x=-的距离为x+,

22

又|PC|=(-1)2+2,

1

由相切可得|PC|-r=x+,

2

2211

即(-1)+-=x+,

22

2

化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y=4x.

(2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A,B两点,M是线段AB的中点,过

M作x轴的平行线与曲线T相交于点N,试问:是否存在直线l,使得NA⊥NB?若

存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.

【解析】(2)如图所示,设A(x,y),B(x,y).

1122

2

由题意,设直线l的方程为x=my+6,联立T的方程可得y-4my-24=0,

2

则Δ=16m+4×240,由根与系数的关系可得y+y=4m,yy=-24,

1212

2

所以x+x=4m+12,xx=36,

1212

假设存在N(x,y),使得NA⊥NB,

00

1+222

则y==2m,又=4x,所以x=m;

02000

=(x-x,y-y),=(x-x,y-y),

10102020

由·=0可得(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)=0,

10201