第九章　第五节　第1课时　椭圆的定义及标准方程.docxVIP

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第五节椭圆

第1课时椭圆的定义及标准方程

【课标解读】

【课程标准】

1.掌握椭圆的定义及标准方程.

2.会利用待定系数法确定椭圆的标准方程.

【核心素养】

数学运算、直观想象、逻辑推理.

【命题说明】

考向

考法

椭圆是历年高考的重点内容,其中求椭圆的标准方程时常出现在解答题的第一问中.

预测

预计2025年高考求椭圆的标准方程、直线与椭圆的交汇问题仍会出题,一般以解答题出现,求椭圆的离心率,考查比较灵活,一般以选择题、填空题的形式出现.

【必备知识·逐点夯实】

知识梳理·归纳

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

微点拨

(1)当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.

(2)当|PF1|+|PF2||F1F2|时,动点P不存在,无轨迹.

2.椭圆的标准方程

(1)焦点在x轴上:x2a2+y2b2

(2)焦点在y轴上:y2a2+x2b2

微思考如何判断点P(x0,y0)与椭圆x2a2

提示:当x02a2+

当x02a2+

当x02a2+y

微点拨

(1)椭圆的标准方程中

焦点在x轴上?标准方程中x2项的分母较大;

焦点在y轴上?标准方程中y2项的分母较大.

(2)a,b,c的关系:a2=b2+c2

常用结论

椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,

设∠F1PF2=θ.

(1)当P为短轴端点时,θ最大,S△F

(2)S△F1PF2=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ

(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.

(4)|PF1|·|PF2|≤(|PF1|+|

(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.

(6)焦点三角形的周长为2(a+c).

基础诊断·自测

类型

辨析

改编

易错

高考

题号

1

2

4

3

1.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆.(×)

提示:(1)因为2a=|F1F2|=8,动点的轨迹是线段F1F2,不是椭圆;

(2)已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.(×)

提示:(2)由于2a|F1F2|,动点不存在,因此轨迹不存在;

(3)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1,F2的距离之和的点的轨迹是椭圆.(√)

提示:(3)由于2a=|MF1|+|MF2||F1F2|,符合椭圆的定义;

(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是一条直线.(√)

提示:(4)平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.

2.(选择性必修第一册P109练习T3变条件)已知椭圆C:x225+y216=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作直线交椭圆C于A,B两点,则△ABF

A.10 B.15 C.20 D.25

【解析】选C.由题意椭圆的长轴长为2a=225=10,

由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=2a=10,

|BF1|+|BF2|=2a=10,

所以△ABF2的周长是20.

3.(2023·全国甲卷)设F1,F2为椭圆C:x25+y2=1的两个焦点,点P在C上,若PF1·PF2=0,则|PF1

A.1 B.2 C.4 D.5

【解析】选B.方法一:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,从而S△F1PF2=b2tan45°=1=12×|PF1

方法二:因为PF1·PF2=0,所以∠F1PF2=90°,由椭圆方程可知,c2

所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,

又|PF1|+|PF2|=2a=25,平方得:|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1

4.(忽略隐含条件)若方程x25-k+y2

【解析】由已知得5-k0,k-

答案:(3,4)∪(4,5)

【核心考点·分类突破】

考点一

椭圆的定义及应用

教考衔接

类题串串联

题号

类题说明

(1)

源自教材第108页例2.此题可知一个圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆

(2)

源自教材第108页例3.此题给出椭圆的另一种定义方式

(3)

源自教材第113页例6.