必威体育精装版中考数学全国通用一轮知识点复习专题24勾股定理中的蚂蚁爬行模型（解析版）.pdfVIP

专题24勾股定理中的蚂蚁爬行模型

【模型】如图，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的

表面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。

E

【证明】

将上图正方体展开如图24-1，可知点到点C的最短路径为图24-1中的线段的长度。

EEC

根据勾股定理可得：22222

ECa(bc)abc2bc

【模型变式1】

如图24-2，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表

面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。

E

【证明】

将图中的正方体展开如图，可知点到点C的最短路径为图中的线段的

24-224-4E24-1EC

22222

长度。根据勾股定理可得：EC(ab)cabc2ab。

【模型变式2】

如图24-3，已知在一个长、宽、高分别为a、b、c的长方体中，已知蚂蚁沿着长方体的表

E

面爬行，求蚂蚁从点到点C的最短路径。

【证明】

将图中的正方体展开如图，可知点到点C的最短路径为图中的线段的

24-324-5E24-1EC

22222

长度。根据勾股定理可得：EC(ac)babc2ac。

B

如图，长方形的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，蚂蚁如果要

【例1】C

AB

沿着长方形的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）

A．35B．1055C．25D．521

【答案】C

【分析】先把长方体展开，然后根据最短路径及勾股定理可求解．

【解析】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所

示：

由题意得：

BD20，ADBC+1015，∠BDA90°，

在RtBDA中，2222，

ABBDDA201525

②把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：

长方体的宽为，高为，点到点的距离是，

1020BC5

BDCD+BC20+525，AD10，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

2222；

ABBDDA1025529

③把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图所示：

长方体的宽为，高为，点到点的距离是，

1020BC5

ACCD+AD20+1030，

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

2