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课题：《点到直线的距离》第一课时

贵州省黔西第一中学数学组宋洪祥

【教材分析】

（1）教学内容

《点到直线的距离》是普通高中课程标准实验教科书数学2必修，“§3．3两条直线的位置关系”的第三节课，主要内容是点到直线的距离公式的推导过程和公式应用．

（2）地位与作用

本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对“点到直线的距离”的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习奠定了基础，具有承前启后的重要作用．

【学情分析】

高一年级学生在前边几个模块已掌握了三角函数、平面向量等有关知识，具备了一定的利用代数方法研究几何问题的能力．根据该班学生基础知识较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高的学习现状和认知特点，本课采用类比发现式教学法．

【教学目标】

依据上面的教材分析和学情分析，制定如下教学目标：

⑴知识技能

①理解点到直线的距离公式的推导过程；

②掌握点到直线的距离公式；

③掌握点到直线的距离公式的应用．

⑵数学思考

①通过点到直线的距离公式的探索和推导过程，渗透算法的思想；

②通过自学教材上利用直角三角形的面积公式的证明过程，培养学生的数学阅读能力；

③通过灵活应用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．

⑶解决问题

①通过问题获得数学知识，经历“发现问题—提出问题—解决问题”的过程；

②由探索点到直线的距离，推广到探索点到直线的距离的过程，使学生体会从特殊到一般、由具体到抽象的数学研究方法．

⑷情感态度

结合现实模型，将教材知识和实际生活联系起来，使学生感受数学的实用性，有效激发学生的学习兴趣．

【教学重点、难点】

1．教学重点

⑴点到直线的距离公式的推导思路分析；

⑵点到直线的距离公式的应用．

2．教学难点

点到直线的距离公式的推导思路和算法分析．

【教学过程】

教学

环节

教师活动

教师活动

学生活动

学生活动

活动

说明

新课引入

新课引入

创设情境：以学生熟知的生活图片欣赏和一个具体实例：当火车在高速行驶时，周围会产生负压，如果旅客离铁轨中心的距离小于2米5时，就可能被吸入车轮下发生危险．让学生直观感受几何要素——“点到直线的距离”，引发学习好奇心和研究兴趣．

现实模型：

①地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离

（图片欣赏）

②生活实例

（flash动画演示）

模型

直观

探索思考

探索思考

探索思考

探索思考

探索思考

探索思考

回顾旧知：在初中，“点到直线的距离”的定义是什么？

点到直线的距离公式的推导过程

（由特殊推广到一般、从具体推广到抽象）

问题1如何求点到直线的距离？

教师：请同学们作出图象后，思考有哪些计算方法，结果是什么？

方法①利用三角函数

解：过点作的垂线，垂足为

教师：由于点和直线的位置比较特殊，直角三角形较为明显，并且出现了特殊角，所以可以利用三角函数来解决问题．但如果直线位置不具特殊性，三角运算将较为繁杂，故此法具有一定的局限性．

方法②利用定义

解：过点作的垂线，设垂足为

方法③利用函数的思想

解：设直线上的点，则

，

当时，取得等号，即点

教师：我们可将求点到直线的距离转化为两点之间的距离，再通过二次函数求最小值的方法解决本题．

强调：⑴点在直线上，故满足直线方程；

⑵当等号成立时，指明此时点的坐标，并与方法②得到的点的坐标进行比较．

方法④利用直角三角形的面积公式

教师：由于，所以我们还可以想到什么方法来计算呢？

教师：应该如何构造三角形呢？

如何添作辅助线是学生的一个思维难点，教师要强调：由垂直条件可以联想到三角形的高或直角三角形等知识，从而得到辅助线的添作方式．

解：过点作的垂线，交点为点

问题2如何求点到直线的距离？

（类比问题1的四种解法，让学生独立思考问题2．课堂上，只要求学生说明解题思路，而不要求解题过程．）

（以下有关例题2的解题过程仅供资料查阅，而不在课堂上讲解．）

方法①利用三角函数

方法②利用函数的思想

设点在直线上，则

当时，取得等号，即点．

方法③利用定义

过点作的垂线，设垂足为

方法④利用直角三角形的面积公式

过点作、轴的垂线，交点为点、

问题3如何求点到直线的距离（）？

教师：你能否类比问