1.4.1.用空间向量研究直线、平面的位置关系(第3课时)教学设计.docx

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第3课时:空间中直线、平面的垂直

（一）教学内容

为了用空间向量解决立体几何问题，将几何问题转化为向量问题,利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的垂直关系.

（二）教学目标

（1）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，能用向量方法判断有关直线和平面垂直关系的立体几何问题．通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．

（2）通过用向量方法解决立体几何中的垂直问题的过程，体会向量运算的几何意义．通过本节教学使学生理解体会用向量方法解决立体几何问题的思想及过程．

（3）引导学生用联系与转化的观点看问题，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．

（三）教学重难点

1.教学重点：用向量方法判断有关直线和平面垂直关系问题．

2.教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直关系的问题．

（四）教学过程

1.复习类比，新课引入

问题1：回忆立体几何中有哪些平行关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？

问题2：上一节课中我们讨论了几种平行关系？用空间向量如何解决？

问题3：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系?

设计意图：类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，类比学习空间中的垂直问题，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想。

2.师生交流，探索新知

问题4：回忆立体几何中有那些垂直关系？如何用直线的方向向量与平面的法向量来判断？

师生活动:学生自主思考，分小组讨论，教师通过图形展示让学生对每一种关系都进行探究，找到相应的向量关系和运算公式。最后教师引导规范总结。

一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直。

（1）用向量刻画线线垂直

如图，设直线、的方向向量分别是，，则⊥⊥。

（2）用向量刻画线面垂直

如图，设直线的方向向量为，平面的法向量为，则⊥∥，使得。

（3）用向量刻画面面垂直

如图，设平面的法向量分别为，，则⊥⊥。

设计意图：类比直线、平面平行的向量表示，提出运用向量解空间中的垂直问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的垂直问题的解法方法，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想。

3.例题分析，巩固新知

例1.如图，在平行六面体中，，，求证：直线平面.

分析：根据条件，可以为基底，并用基向量表示和平面，再通过向量运算证明是平面的法向量即可。

证明：设，则为空间的一个基底，

且.

因为，，

所以.

在平面上，取为基向量，则对于平面上任意一点P，存在唯一的有序实数对，使得.

所以.

所以是平面的法向量.

所以平面.

例2.证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

已知：如图，，

求证：.

证明：取直线l的方向向量，平面的法向量

因为，所以是平面的法向量.

因为，而是平面的法向量，所以.

所以.

例题小结：

用空间向量求各种垂直关系的步骤：

1．用空间向量解决立体几何中的垂直问题，主要运用直线的方向向量与平面的法向量，同时也需要借助空间中已有的位置关系及关于垂直的定理．

2．应用向量证明垂直问题的基本步骤：

(1)建立空间图形与空间向量的关系(可以建立空间直角坐标系，也可以不建系，选取适当的基底)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面；

(2)通过向量运算研究垂直问题；

(3)根据运算结果解释相关问题．

设计意图：建立空间图形与空间向量的关系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线和平面，通过向量运算研究垂直问题，根据运算结果解释相关问题。使学生体会用向量证明比几何方法证明简单、明了。

4.归纳总结、深化理解

（1）在空间中，直线和平面的垂直关系有几种情况？

（2）用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系。

设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。

5.布置作业：P33练习第1，2，3题．

（五）目标检测设计

A组（基础达标）

1.若直线的一个方向向量，平面的一个法向量为，则(??)

A.

B.

C.

D.A，C都有可能

2.已知点，若平面，则点的坐标为()

A. B. C. D.

B组（能力提升）

1.已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则__________.

2.已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正