高中数学人教版新教材 选择性必修一第一章1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题单元教学设计.docxVIP

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

一、单元内容及其解析

1.内容

本单元包括运用空间向量解决立体几何中的距离和夹角等度量问题，主要通过直线的方向向量、平面的法向量建立空间中距离和夹角的计算方法。知识结构图如下：

用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”

用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”

用向量方法解决距离问题

用向量方法解决角度问题

空间点到直线、点到平面的距离

空间两条平行直线间的距离

空间两条平行平面间的距离

空间两条直线所成的角

空间直线与平面所成的角

空间两个平面的夹角

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本单元内容用3课时完成，第1课时：用空间向量研究距离问题；第2课时：用空间向量研究夹角问题；第3课时：用空间向量研究立体几何问题的综合应用。

2.内容解析

(1)内容的本质：

立体几何研究空间图形的形状、大小及其位置关系。距离和角度是立体几何中的基本度量。距离主要包含两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离、点到平面的距离、直线到平面的距离(直线与平面平行)、平行平面间的距离，等等；角度主要包含两条直线所成的角、直线和平面所成的角、两个平面所成的角，等等。

⑵蕴含的数学思想和方法：

空间中点、直线、平面之间的距离和夹角公式的建立，蕴含了转化、化归、类比思想；空间向量在解决实际问题中的运用，本质上是综合法、向量法、坐标法的统一使用，体现了数形结合、转化化归思想。

⑶知识的上下位关系：

对于距离问题，由于前面已研究了两点间的距离，本单元利用向量投影统一研究其余距离问题，其中点到直线的距离、点到平面的距离是核心，其他距离问题都可以转化为这两类距离进行求解。对于角度问题，利用直线的方向向量和平面的法向量，统一将这些角度化归为这些向量之间的夹角，进而利用向量的数量积解决问题。

⑷育人价值：

通过本单元求解距离和角度的问题，可以帮助学生归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何问题，从而进一步体会向量及其运算在解决立体几何问题中的作用和普适性，培养学生直观想象、数学运算和逻辑推理等素养。

⑸教学重点：

基于上述分析，确定本单元的教学重点：利用投影向量推导点到直线的距离公式和点到平面的距离公式，利用向量的数量积公式推导直线、平面间的夹角公式，运用“三步曲”解决立体几何问题。

二、单元目标和目标解析

1.目标

⑴能用向量方法解决点到直线、点到平面、互相平行的直线、直线到平面(直线与平面平行)、互相平行的平面的距离问题；

⑵能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角(夹角)问题；

⑶理解用向量方法解决立体几何问题的程序，并用来解决立体几何问题，体会向量方法的作用。

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

⑴能利用向量投影推导点到直线的距离公式、点到平面的距离公式，能把互相平行的直线间的距离、直线到平面的距离(直线与平面平行)、互相平行的平面间的距离转化为点到直线的距离或点到平面的距离，进而求得上述距离；

⑵能通过实例归纳出利用向量的数量积求空间两条异面直线所成角的一般方法；能够利用向量的数量积得出直线与平面、平面与平面所成角的计算公式，并用来接解决有关夹角问题，体会利用向量数量积解决空间角度问题的优势；

⑶能归纳出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，并自觉地运用“三步曲”解决立体几何中的问题；通过用向量方法、综合几何方法从不同的角度解决立体几何问题，体会向量方法的优势以及向量及其运算在解决立体几何问题中的作用。

三、单元教学问题诊断分析

学生在“立体几何初步”的学习中，对于距离和夹角有了一定的认识，但缺乏整体性、系统性。在本章前面的学习中，也已经利用空间向量及其运算、空间向量基本定理等解决了一些简单的立体几何问题，但对于其中的向量方法体会还不够深刻，对于用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”，也达不到熟练运用的程度，特别是在解决综合性问题时，常常对其中的第一步“建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题”缺乏经验和体会。

本单元的教学难点为：整体理解空间距离公式和角度公式，以及运用“三步曲”解决立体几何中的综合问题。

四、单元教学支持条件分析

通过数学建模等方式，让学生能够清楚地认识到向量在空间中的距离和夹角的确定中的作用，从而更好的掌握向量在立体几何中的若干计算方法，进而做到灵活熟练地运用。

五、课时教学设计