1.4.1.用空间向量研究直线、平面的位置关系(第2课时)教学设计.docx

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第2课时:空间中直线、平面的平行

教学内容

为了用空间向量解决立体几何问题，将几何问题转化为向量问题,利用空间向量的运算，研究空间直线、平面间的平行关系.

教学目标

能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，能用向量方法判断有关直线和平面平行关系的立体几何问题．

通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过程，体会向量运算的几何意义．

引导学生用联系与转化的观点看问题，体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感，培养合作意识和创新精神，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学习兴趣．

教学重难点

教学重点：用向量方法判断有关直线和平面平行关系问题．

教学难点：空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关平行关系的问题．

教学过程

1.复习回顾，新课引入

复习：直线的方向向量和平面的法向量.

思考：我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量。那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题。

2.师生交流，探索新知

问题1：由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系?

师生活动：学生自主思考，并分小组进行探究，教师通过展示图形，从而引导学生结合直线、平面的平行关系与向量之间的联系，探究直线的方向向量、平面的法向量间满足的向量关系和运算公式。

如下图，设，分别是直线、的方向向量。由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行。所以∥∥，使得。

类似的，如下图，设是直线的方向向量，是平面的法向量，则则∥⊥。

如下图，设，分别是平面的法向量，则∥∥，使得。

设计意图：提出运用向量解空间中的平行问题，引导学生回顾空间中线线、线面、面面的平行问题的解法方法，进一步体会空间几何问题代数化的基本思想。

3.例题分析，巩固新知

例1.证明“平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

已知：如图1.4-11，

求证：.

分析：设平面的法向量为，直线的方向向量分别为，.则由已知条件可得由此可证明与平面内的任意一个向量垂直，即也是的法向量。

证明：如图，取平面的法向量，直线的方向向量，.

因为，所以，.

因为，

所以对任一点，存在，使得=.

从而（）=.

所以，向量也是平面的法向量，故.

例2.如图，在长方体中，.线段上是否存在点P，使得平面？

分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果。

解：以D为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为的坐标分别为(3，0，0)，(0，4，0)，(0，0，2)，所以.

设是平面的法向量，则，

即，所以.

取，则.所以，是平面的一个法向量.

由的坐标分别为(3，0，2)，(0，4，0)，(3，4，2)，得，.设点P满足，则，所以.

令，得，解得，这样的点P存在.

所以，当，即P为的中点时，平面.

设计意图：通过建立直角坐标系，将要求的线面平行当作已知条件．利用直线与平面的法向量垂直即可得到相应的P点位置。加深学生对法向量的概念理解，熟练空间中的平行关系如何用空间向量的坐标表示．

3.归纳总结、深化理解

（1）在空间中，直线和平面的平行关系有几种情况？

（2）用向量语言描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系。

4.布置作业：P31练习第1，2，3题．

目标检测设计

A组（基础达标）

1.若平面的法向量分别为，则()

A. B.与相交但不垂直

C. D.或与重合

2.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的值是()

A. B. C. D.

B组（能力提升）

1.已知直线过点，且平行于向量，平面过直线与点，则平面的法向量不可能是()

A. B. C. D.

2.若不同的平面的一个法向量分别为，则与的位置关系为_______.

3.如图，已知梯形中，，，，四边形为矩形，，平面平面.求证：平面.