1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第2课时)教学设计.docx

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1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题

(第2课时用空间向量研究角度问题)

㈠课时教学内容

两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面的夹角。

㈡课时教学目标

1.能用向量方法得到两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面的夹角的向量表达式，解决立体几何中有关角度的度量问题；

2.结合一些具体的角度问题的解决，归纳用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”；

3.提升直观想象、数学运算等素养。

㈢教学重点与难点

1.教学重点：利用向量的数量积研究两条直线所成的角，直线和平面所成的角，两个平面的夹角。

2.教学难点：根据问题的条件选择适当的基底。

㈣教学过程设计

引导语：与距离一样，角度是立体几何中的另一类度量问题，本质上，角度是对两个方向的差的度量，向量是有方向的量，所以利用向量研究角度问题有其独特的优势。本节课我们用空间向量研究夹角问题，你认为可以按怎样的顺序展开研究？

师生活动：学生独立思考，小组交流后，通过全班讨论达成对研究途径的共识，即：直线与直线所成的角→直线和平面所成的角→平面和平面所成的角。

设计意图：明确研究路径，为具体研究提供思路。

1.典型例题，求解直线与直线所成的角

问题1：如图，在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)ABCD中，M、N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值。

用向量方法求解几何问题时，首先要用向量表示问题中的几何元素，对于本问题，如何用向量表示异面直线AM和CN？它们所成的角可以用向量之间的夹角表示吗？

追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个立体几何问题转化为向量问题？

师生活动：首先，教师分析题目的条件：已知正四面体的棱长和棱与棱之间的夹角，AM和CN是中线，其模长可求，与其他棱的夹角也是确定的，这些条件都有利于向量基底的选取。接着在学生回答的基础上，教师补充后形成共识：求异面直线AM和CN的夹角时，只要用基底向量表示出它们的方向即可，这样，异面直线AM和CN夹角可以转化为求向量与的夹角，为此，选择为基底并表示向量、。

在此基础上，将此问题推广到一般，学生思考后作答，教师对学生的回答给予补充。梳理出将立体几何问题转化为向量问题的途径：

途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，总而把立体几何问题转化为向量问题；

途径2：通过建立空间直角坐标系，用坐标表示问题中涉及的点、直线、平面等元素，总而把立体几何问题转化为向量问题。实际上，空间直角坐标系也是基底，是“特殊”的基底。

追问2：请你通过向量运算，求出向量、夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值。

师生活动：学生利用向量的数量积求出向量、夹角的余弦值，从而解决问题。

追问3：回顾问题1的求解过程，你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？

师生活动：教师引导学生树立，得出：将直线与直线所成的角转化为直线的方向向量的夹角，进而利用向量的数量积求解。也就是说，若异面直线、所成的角为，其方向向量分别是、，则

。

在此基础上，教师板书下面的过程，让学生进一步认识用向量方法解决几何问题的基本步骤：

几何问题→向量问题→向量运算→几何解释

设计意图：通过向量方法求解一个空间直线与直线所成角的具体问题，归纳得出用向量方法求解直线与直线所成角的角度的一般方法。

2.类比研究，求解直线与平面、平面与平面所成的角

问题2：你能用向量方法求问题1中直线AB与平面BCD所成的角吗？一般的，如何求直线与平面所成的角？

追问：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题转化为向量问题？

师生活动：教师引导学生分析已知条件，明确平面的法向量在解决直线与平面所成角的问题中的关键作用，将直线AB与平面BCD所成的角转化为直线AB的一个方向向量与平面BCD的一个法向量的夹角，进而利用向量的数量积求解。

进一步地，师生共同给出求直线与平面所成角的步骤和方法，即将直线与平面所成的角转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角，从而得到直线与平面所成角的一般表达式。

若直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成角为，则

。

设计意图：通过本问题的解决，让学生体会法向量在求解直线与平面所成角时的关键作用，并得出一般的求解直线与平面所成角的向量表达式。

问题3：类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为应如何合理定义两个平面所成的角？进一步的，如何求平面和平面的夹角？

师生活动：教师给出两个相交平面的图形，让学生类比已有的空间基本元素所成角的定义，给两个平面所成的角下定义。教师可以追问学生：“角度是度量方向的差异，那么决定平面方向的是什么？”从而启发学生用两个平面的法向量刻画两个平面所成的角。在学生讨论、交流的基础上，教师小结