高中数学：抛物线的标准方程教学设计.docx

教学设计标题：3.3.1抛物线及其标准方程

学情分析：学生对抛物线的认知基础是对二次函数的图象的直观感知，但是并不知道抛物线的几何特征，确定抛物线的几何要素是一个定点和一条定直线，这与确定椭圆与双曲线的几何要素不同，学生不易发现。

教学目标：(1)能从几何情境中认识抛物线的几何特征，给出抛物线的定义，发展直观想象素养.

（2）能类似椭圆、双曲线的标准方程的建立过程，运用坐标法推导出抛物线的标准方程，并能用它解决简单，进一步体会建立曲线的方程的方法，发展直观想象、数学运算素养.

教学重难点：重点：抛物线的定义、标准方程

难点：抛物线标准方程的推导

教学过程：

引导语：通过椭圆和双曲线的学习可以发现，如果动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离之比为，当时，点的轨迹为椭圆；当时，点的轨迹为双曲线.当时，即动点到定点的距离与它到定直线的距离相等时，点的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题.

1.抛物线概念的形成

问题1：动点到定点的距离与到定直线（不过点）的距离相等时，同学们猜想下动点的轨迹是什么形状？

探究：利用几何画板作图，是定点，是不经过点的定直线.是直线上任意一点，过点作线段的垂直平分线交于点拖动点点随之运动，你能发现点满足的几何条件吗？它的轨迹是什么形状？

师生活动：出示问题1，引导学生分析问题中的几何元素及其相互关系.拖动点H，点M也随之运动，始终有MF=MH，即点M到定点F的距离等于它到定直线l的距离，可以发现，点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.结合章引言中平面截圆锥的问题，

思考：当直线l经过点F时，线段FH的垂直平分线m与过点H的定直线l的垂线是什么位置关系？

当直线l经过点F时，动点M到定点F的距离MF就是动点M到定直线l的距离，所以，此时动点M的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.所以要求直线l不经过定点F.

定义：我们把平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线.

设计意图：通过对问题1的探究，引导学生利用已知条件和图形认识抛物线的几何要素，抽象得出抛物线的概念，发展学生的数学抽象核心素养.

2.建立抛物线的标准方程

问题2：类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你能推导出抛物线的标准方程吗？

建系，设点，列式，化简

思考1：回顾一下，推导椭圆和双曲线的标准方程时是如何建系的？

是以椭圆和双曲线的对称轴所在直线为坐标轴，使焦点落在坐标轴上，并且焦点的坐标关于原点对称.

思考2：观察抛物线的几何特征，如何建立抛物线的平面直角坐标系？

抛物线只有一条对称轴，并且焦点在对称轴上，所以我们以对称轴所在直线为x轴.

y轴如何建立？

师生活动：根据抛物线的定义，与抛物线有关的重要几何元素有三个：抛物线、抛物线的焦点、抛物线的准线。所以可以考虑三种情况：

第一种，以抛物线的焦点为原点建立坐标系，如下左图所示；

第二种，过抛物线的焦点向准线作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为轴建立坐标系，如下中图所示；

第三种，以抛物线的准线为轴建立坐标系，如下右图所示.

为了使抛物线的方程形式简单，选择第二种建立坐标系的方法.另两种同学们可以进行尝试，然后比较一下哪个方程形式更简单？

思考3：如何求抛物线的方程？

如图，设焦点到准线的距离KF=pp0，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为.

根据定义中的动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等，把这句话用数学语言进行翻译:

设Mx，y

设动点M到定直线l的距离为d，由图可得.

所以.

将这个式子两边平方去根号，得.

展开上式中的平方式，得

整理，得.

从上面的推导过程可以知道，抛物线上任意一点的坐标x，y都是方程的解，反之，以方程的解为坐标的点x，y与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程的解为坐标的点都在抛物线上.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在

设计意图：通过问题2的思考，为学生展示抛物线标准方程的推导过程，提升学生的数学运算核心素养.

问题3：椭圆、双曲线都有焦点分别在x轴、y轴上的情形，所以椭圆及双曲线都有两种形式的标准方程，那么抛物线是否也有其他形式的标准方程？

师生活动：类比开口向右的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程，填写开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

抛物线四种标准方程的等号左边都是系数为1的二次项，右边是一次项.开口向左、向右的抛物线，一次项是x，x的系数为正时，焦点在x轴正半轴，开口向右；x的