高中数学：空间向量的数量积运算.docx

课题

空间向量的数量积

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教·学记要

1、空间向量数量积的概念

思考如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的数量积？并总结求两个向量数量积的方法．

梳理(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.

(2)数量积的运算律

数乘向量与向量数量积的结合律

(λa)·b＝________

交换律

a·b＝________

分配律

a·(b＋c)＝________

(3)空间向量的夹角

①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则________叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．②范围：〈a，b〉∈________.特别地：当〈a，b〉＝________时，a⊥b.

2、空间向量的数量积的性质

两个向量数量积的性质

①若a，b是非零向量，则a⊥b?__________

②若a与b同向，则a·b＝________；若反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝________或|a|＝eq\r(a·a)

③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝__________

④|a·b|≤|a|·|b|

二合作探究

1、空间向量的数量积运算

例1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED,\s\up6(→))1；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))1；(3)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(FC,\s\up6(→))1.

2、利用数量积求夹角

例2BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，?ABB1A1、?BB1C1C的对角线都分别互相垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．

例3已知：PO、PA分别是平面α的垂线、斜线，AO是PA在平面α内的射影，l?α，且l⊥OA.求证：l⊥PA.

3、利用数量积求距离

例3如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

例4已知a，b，c中每两个的夹角都是eq\f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，

试计算|a＋b＋c|.

学习记录

教·学记要

我的疑惑、收获

归纳的方向：

课堂检测

1．设a，b为空间的非零向量，下列各式：①a2＝|a|2；②eq\f(a·b,a2)＝eq\f(b,a)；③(a?b)2＝a2?b2；④(a－b)2＝a2－2a?b＋b2；⑤(a?b)?c＝b?(a?c)＝(b?c)?a；⑥向量b在向量a的方向上的投影为|a|cos〈a，b〉，其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则〈，〉的值为()

A．60°B．45°C．120°D．90°

3．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a?b＝()

A．1B．2C．3D．4

4．已知a、b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a、b所成的角是________．

5．已知向量a，b，c两两夹角都是60°，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则|a－2b＋c|＝________.

教·学记要

作业布置

一、选择题

1．下列各命题中，不正确的命题的个数为()

①eq\r(a·a)＝|a|；②m(λa)?b＝(mλ)a?b(m、λ∈R)；

③a?(b＋c)＝(b＋c)?a；④a2b＝b2a.

A．4B．3C．2D．1

2．在△ABC，＝a，＝b，若a?b0，则△ABC是()

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定

3．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)?a＝()

A．12B．8＋eq\r(3)C．4D．13

4．已知非零向量a，b，