高中数学：空间向量与立体几何小复习.docx

《空间向量与立体几何》练习

1.设，，与垂直，则等于（????）

A．6 B．14 C． D．

【详解】由题设，，

∴，

∴.故选：C

2.如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（????）

B．

C.D．

【详解】由题意可得

.故选：D

3.正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为

A． B． C． D．

【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为，

正四棱锥的高为，又球心在正四棱锥的高上，

该正四棱锥的体积为，，，

设外接球的半径为，则在直角三角形中，

，解得．

球的表面积．

故选：．

4.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（????）

A．与是共线向量

B．与同向的单位向量是

C．在方向上的投影向量是

D．与的夹角为

【答案】BC

【详解】已知空间中三个向量，，，

对于A选项，因为，故、不共线，A错；

对于B选项，与同向的单位向量是，B对；

对于C选项，在方向上的投影向量是，C对；

对于D选项，因为，则、不垂直，D错.故选：BC．

5.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（????）

A．直线平面 B．

C．三棱锥的体积为 D．异面直线与所成的角为

【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，

，，，

所以，即，所以，故B正确；

，，，

设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；

设平面的法向量为，则，即，取，

则，即，

又直线平面，所以直线平面，故A正确；

，故C错误；故选ABD

6.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E．

(1)求证；

(2)若平面平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．

【详解】（1），

且平面，平面，

平面，

又平面，且平面平面，；

（2）连结，取中点，连结，，

在菱形中，，是等边三角形，

又为中点，，

平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，平面，，

又，，

以点为原点，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，

，，

设平面的一个法向量为，

则，所以，令，则，，

故，又，

设与平面所成角为，

，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

7．如图，在四棱锥中，平面，.

（1）求A到平面的距离；

（2）求平面与平面夹角的余弦值；

（3）设E为棱上的点，满足异面直线与所成的角为，求的长.

【详解】(1)在四棱锥中，平面，，

以A为原点，射线、、分别为x、y、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系，如图，

因，则，

于是得.

设为平面的一个法向量，则，令，得，

所以A到平面的距离；

(2)由(1)知，平面的一个法向量，而平面的一个法向量，

于是得，显然平面与平面夹角为锐角，

所以平面与平面夹角的余弦值是；

(3)因E为棱上的点，设，则，而，

又异面直线与所成的角为，则，解得，

所以的长为.

8．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，G为的重心，M为线段的中点，与交于点F．

(1)当时，证明：平面；

(2)当平面与平面所成锐二面角为时，求三棱锥的体积．

【详解】（1）延长交于N，连接，

因为G为的重心，

所以点N为的中点，且，

因为，故，所以，

故，故，

因为平面，所以，

因为底面为矩形，所以，

又因为，所以平面，故，

因为，所以，

又因为，

所以平面，所以平面.

（2）以C为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设点G到平面的距离为，

则，

故，

设平面的法向量为，则,即，

取，则，即，

设平面的法向量为，则,即，

取，则，则，

所以，解得，

又，

故点G到平面的距离为，

因为，所以，

所以.