适用于新高考新教材广西专版2025届高考数学一轮总复习第八章立体几何与空间向量第五节空间向量及其运算课件.pptxVIP

第八章第五节空间向量及其运算

课标

解读

1.了解空间向量的概念，了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向

量的正交分解及其坐标表示.

2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.

3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.

4.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题.

增分策略

强基础

名称

概念

表示

零向量

长度(模)为0的向量

0

单位向量

长度(模)为1_的向量

——

相等向量

方向相同且模相等的向量

a=b

相反向量

长度相等而方向相反的向量

a的相反向量为-a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直

线互相平行或重合的向量

a//b

共面向量

平行于同一个平面的向量

知识梳理

1.空间向量的有关概念

抓住空间向量的两个主要元素：大小与方向

微点拨空间向量是由平面向量拓展而来的，因此空间向量的概念和性质与

平面向量的概念和性质相同或相似.在学习空间向量时，与平面向量的相关内容相类比进行学习，将达到事半功倍的效果.

微思考“空间中任何两个向量都是共面向量”,这个结论是否正确?

提示正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量

都可以平移到同一个平面内，成为共面向量.

定理

语言描述

共线向

量定理

对空间任意两个向量a,b(b≠0),a//b⇔存在λ∈R,使a=λb

共面向

量定理

如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面⇔存在

唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb

空间向量

基本定理

{a,b,c}叫做空间的一个基底

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存

在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc

2.空间向量中的有关定理

微点拨1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用

的基础.

2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题.

微思考基向量和基底一样吗?0是否能作为基向量?

提示不一样.基底是指一个向量组，基向量是基底中的某一个向量；因为0

与其他两个非零向量共面，所以0不能作为基向量.

(1)两个向量有相同的起点；(2)向量的方向

②范围：0≤a,b≤π.

(2)两个非零向量a,b的数量积：

a·b=.a||b|cosa,b

3.空间向量的数量积

(1)两向量的夹角

①已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则

∠AOB叫做向量a,b的夹角，记作a,b.

微点拨向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即

a·b=b-a,(a+b)·c=a·c+b·c成立，(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.

类型

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

共线

a=λb(b≠0,λ∈R)

a₁=λb₁,a₂=λb₂,a₃=λb₃

垂直

a·b=0(a≠0,b≠0)

a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=0

模

1

夹角

a,b(a≠

4.空间向量的坐标表示

设a=(a₁,a₂,a₃),b=(b₁,b₂,b₃).

垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决

常用结论

1.证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

(1)PA=APB(A∈R);

(2)对空间任意一点O,0P=OA+tAB(t∈R);

(3)对空间任意一点O,0P=xOA+yOB(x+y=1),

2.证明空间四点共面的方法

对空间四点P,M,A,B,除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立

来证明共面：

(1)MP=xMA+yMB;

(2)对空间任一点O,0P=OM+xMA+yMB;

(3)PM||AB(或PA||MB或PB||AM).

对点演练

1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(×)

(2)空间中任意两非零向量a,b共面.(√)

(3)对于空间非零向量a,b,若a·b0,则a与b的夹角为钝角.(×)

(4)对于非零向量b,由a·b=b-·c,得a=c.(×)

2.(多选)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),下列结论正确的是()

A.(2a+b)//a

B.5|a|=√3|b|

C.a⊥(5a+6b)

D.a与b夹角的余弦值

答案BCD

解析∵2a+b=(-1,2,7),a=(-2,-1,1),且故A不正确；

∵|al=√4+1+1=√6,|b|=√32+4²+5²=5√2,则5|al=√3|bl,故B正确；

∵5a+6b=(8,19,35),a·(5a+6b)=(-2)×8-1×19+1×35=0,∴a⊥(5a