高中数学：微专题5立体几何向量法.doc

微专题5——立体几何、向量法

1．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A．若，，，则直线与一定平行

B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面

C．若，，则直线与一定垂直

D．若，，，则直线与一定平行

2．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

3．两个有共同底面的四棱锥内接于同一个球，且底面是边长为的正方形，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为．设两个四棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是_______________________．

4．如图，在四棱锥中，平面PBC平面，.（1）求证：平面；（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值.

作业：姓名：___________班级：___________

1．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB＝acosC+ccosA

（1）求角B的大小；

（2）若线段BC上存在一点D，使得AD＝2，且AC，CD1，求S△ABC.

2．已知数列的前n项和为，且.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）在①；②；③这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.已知数列满足___________，求的前n项和.

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

3．如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且.

（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；

（3）设为棱上的点(不与，重合)，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值.

4．已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为,设动点形成的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程;（2）过点的直线与曲线交于两点,过点作,垂足为，过点作,垂足为,求的取值范围.

微专题5——立体几何、向量法答案

1．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列判断正确的是（）

A．若，，，则直线与一定平行

B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面

C．若，，则直线与一定垂直

D．若，，，则直线与一定平行

【答案】C

【详解】

对于A选项，若，，，则直线、相交、平行或异面，A选项错误；

对于B选项，设直线、的方向向量分别为、，

因为，，则为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，

因为，则，即，但m与n不可能平行，B选项错误；

对于C选项，设直线、的方向向量分别为、，

因为，则为平面的一个法向量，，则，即，C选项正确；

对于D选项，若，，，则直线与平行或异面，D选项错误.

故选：C.

2．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为的正方体中，记平面为，平面为，点是棱上一动点（与、不重合），.给出下列三个结论：

①线段长度的取值范围是；

②存在点使得平面；

③存在点使得.

其中，所有正确结论的序号是（）

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

【答案】D

【解析】取的中点，过点在平面内作，再过点在平面内作，垂足为点.

在正方体中，平面，平面，，

又，，平面，即，，

同理可证，，则，.

以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，

则，，，，.

对于命题①，，，则，则，所以，，命题①正确；

对于命题②，，则平面的一个法向量为，

，令，解得，

所以，存在点使得平面，命题②正确；

对于命题③，，令，

整理得，该方程无解，所以，不存在点使得.，命题③错误.

故选：D.

3．两个有共同底面的四棱锥内接于同一个球，且底面是边长为的正方形，它们顶点的连线为球的直径且垂直于底面，球的半径为．设两个四棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则的值是_______________________．

【答案】

【详解】

连接四棱锥的顶点、交底面于点，为的中点，则，，，故和即为二角面和，，，，，．

故答案为：.

4．如图，在四棱锥中，平面PBC平面，.

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【详解】

（1）证明：在四边形中，，

所以都为等腰直角三角形，即，

又因为平面PBC平面，平面平面

所以直线平面，又平面

所以，又，

所以平面.

（2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

则

因为直线与底面所成的角的正切值为，所以在中，

设平面PBC和平面PDC法向量分为为易知可取

因为，

所以即，令，解得

设所求二面角为

所以

备选5．如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，中，，，，分别是，的中点.

（1）求证：平面