高中数学：一题多解一览众山小.doc

一题多解一览众山小

数学

一题多解是指利用不同的思维方法，对于同一个问题使用两种或者两种以上的方法进行求解.探索一题多解，可使教学过程系统化，培养学生的数学思维能力，提高综合素质.本文将就一道典型的抛物线小题进行分析,抛砖引玉.

例已知抛物线M：上，过焦点F的直线交抛物线M于A,B两点，若|AF|＝2|BF|，则直线的倾斜角的正弦值为（）

B.C.D.

法1由题意知F(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，设：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得x2－(2+4)x＋＝0，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2+eq\f(4,k2)

，,x1x2＝1，))......①|BF|=x2＋eq\f(p,2)=x2＋1,|AF|=x1＋eq\f(p,2)=x1＋1=2(x2＋1),x1=2x2＋1,联立x1x2＝1得x1=2，x2=代入①得＝8＝tan2αsinα＝

点评：代数法非常明确，但正向解决，运算量较大，容易出错、耗时.当然，设：my＝x－1,通过直线和抛物线方程联立，再根据纵坐标的比例关系，求出两点的纵坐标，从而求出两点横坐标和直线斜率、倾斜角等,运算量要少些.

法2如图，==2a,==a,令=b,由三角形相似可知=3b由==,即a=2-b=2a-3ba=,b=,

cosα==sinα＝.

点评：几何法依据题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，利用图形性质来解决，数形结合,提高了解题效率.法3由抛物线的性质结论可知+＝，=且p=2,|AF|＝2|BF|解得sinα＝.

点评：深度研究规律,妙用圆锥曲线二级结论,也可以利用公式|AF|=,在解题中起到事半功倍效果.

法4作图象,直线l过F，旋转l结合直尺或圆规，使得|AF|＝2|BF|,直尺量得AF,AG长度,sinα＝0.94,选A.

点评：尺规作图,合理推理、估算而获得答案，这样可以减少运算量，同时加强了思维的层次,估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而取得很好的效果.

一题多解不仅是一种能力，更是一种智慧,教学要激发学生参与的积极性，主动进行观察、推理与交流等数学活动，使学生逐步领悟，理解和掌握基本的数学知识与技能,思想与方法,会当临绝顶,一览众山小.