九年级数学下册浙教版：1-3 解直角三角形-教学设计.docx

教学设计

课程基本信息

学科

初中数学

年级

九年级

学期

春季

课题

1.3.1解直角三角形

教科书

书名：义务教育教科书数学

出版社：浙江教育出版社

教学目标

经历运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题的过程。了解解直角三角形的概念。

会运用锐角三角形函数、勾股定理等知识解决与直角三角形有关的简单实际问题。

教学内容

教学重点：

1.运用锐角三角函数、勾股定理等知识解决在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边角的问题。

教学难点：

1.运用锐角三角形函数、勾股定理等知识解决与直角三角形有关的简单实际问题。

教学过程

环节一：生活中问题

如图是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计.若已知原平屋顶的宽度为10m，坡屋顶高度为3.5m.你作为工程师，能否算出斜面钢条长度和坡角度数？

环节二：想一想

【问题一】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3.你能否求出AC？依据是什么？

根据文字语言画出相应图形。

追问1：能否继续求出内角呢？

【问题二】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=35°.你能否求出∠B？依据是什么？

根据文字语言画出相应图形。

追问2：:能否继续求出边长呢？如果不能，请你添加条件。

实际上，只要给定任意一边的值，我们就能求出所有边长。

【定义】

在直角三角形中，只要已知一边一锐角或者已知两边，即可求出三角形其它边角.

像这样的，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。

环节三：理一理

解直角三角形本质上就是利用角角关系，边边关系，边角关系进行计算。其中角角关系体现为∠A+∠B=90°；边边关系体现为AC2+BC2=AB2；边角关系体现为正弦函数，余弦函数，正切函数。

环节四：练一练

例1如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50°，AB=3.求∠B和BC，AC（边长精确到0.1）。

通过分析可知：Rt△ACB中已知一（锐）角、一（斜）边。

已知一个锐角，所以我们可以利用直角三角形两锐角互余快速计算出∠B=40°；只知道一边，所以用锐角三角函数来计算边。

追问1：选择哪一个锐角三角函数呢？

由于给定的边是斜边，所以选择正弦或余弦函数比较简便。

简而言之：在解直角三角形中，有角求角，有斜（斜边）用弦（正弦或余弦）。

变式在Rt△ACB中，∠C=90°，∠A=50°，AC=3.求∠B和BC，AB（边长精确到0.1）。

画出相应图形，通过分析可知：Rt△ACB中已知一锐角、一直角边

由于本题仍然有角，所以仍然先求角，可得∠B=40°。

追问2：若用锐角三角函数来计算边，又该选择哪一个锐角三角函数呢？

由于给定的是直角边，所以选择正切函数求另一条直角边比较方便，然后选择正弦或余弦函数来求斜边。

简而言之：在解直角三角形中，无斜（斜边）用切（正切）

追问3：选择哪个角的三角函数呢？

通过计算、比较可以发现：在求直角边时，我们选择正切函数，其中选择∠B的正切函数，可得BC=3/tan40°；其中选择∠A的正切函数，可得BC=3·tan50°，两者计算相比较，乘法比除法更方便，所以我们要选择与已知直角边相邻的角，从而避免除法。

在求斜边时，我们选择正弦或者余弦函数，以正弦函数为例，其中选择∠A的正弦函数，可得AB=BC/sin50°即3·tan50°/sin50°；其中选择∠B的正弦函数，可得3/sin50°，两者计算相比较，选择∠B的正弦函数更方便，因为它使用了原始数据3，避开了中间数据3·tan50°。

简而言之：在解直角三角形中，宁乘勿除，取原避中.

环节五：应用

例2图2是某市“平改坡”工程中一种坡屋顶的设计图.已知原平屋顶的宽度l为10m，坡屋顶高度h为3.5m.求斜面钢条a的长度和坡角α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）

将实际问题抽象成数学问题，并用图形描述，最终我们用解直角三角形的知识与方法解决实际问题。

通过分析可知，已知一个等腰三角形的高和底，然后去求腰跟底角。

利用等腰三角形的三线合一性质，得到底边的一半等于5，此时在直角三角形中，已知两直角边，所以利用勾股定理可快速求出斜面钢条a，利用正切函数求得坡角α。

本题关键在于将实际问题抽象成数学的三角形问题，然后利用等腰三角形、直角三角形等基本图形完成计算。分析条件可知，这个直角三角形只有边元素，所以可以先算边，简而言之：我们在解直角三角形中，无角求边。解决好这个实际问题后，同学们，你是否能提出更多的问题？你又能否去尝试设计出新的坡屋顶款式吗？这个留给同学们下课后自主研究，可以进行一个项目化学习。

环节六：拓展

如图，在一张长方形纸片ABCD中，AD=25cm，AB=20cm，点E，