山东理工大学《高等数学》课件-第五章定积分.pptxVIP

第五章积分学不定积分定积分定积分

第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质机动目录上页下页返回结束定积分的概念及性质第五章

一、定积分问题举例

1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.机动目录上页下页返回结束

解决步骤:1)分割：在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似代替：在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束

3)近似求和：4)取极限：令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束

2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在这段时间内物体所经过的路程S.解决步骤:已知速度机动目录上页下页返回结束(1)分割:T1?t0t1t2???tn?1tn?T2,Dti?ti?ti?1;(2)近似代替:物体在时间段[ti?1,ti]内所经过的路程近似为DSi?v(?i)Dti(ti?1?iti);物体在时间段[T1,T2]内所经过的路程近似为(3)近似求和:(4)取极限:记??max{Dt1,Dt2,???,Dtn},物体所经过的路程为

上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“分割,近似代替,近似求和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限机动目录上页下页返回结束2.变速直线运动的路程1.曲边梯形的面积

二、定积分定义

定积分的定义在小区间[xi?1,xi]上任取一点xi(i?1,2,???,n),作和??max{Dx1,Dx2,???,Dxn};记Dxi=xi-xi?1(i?1,2,???,n),a?x0x1x2???xn?1xn?b;在区间[a,b]内插入分点:设函数f(x)在区间[a,b]上有界.则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,即如果当??0时,上述和式的极限存在,[a,b]的分法和xi的取法无关,且极限值与区间记为此时称f(x)在[a,b]上可积.

积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和机动目录上页下页返回结束

1.连续曲线y=f(x)≥0在[a,b]上形成曲边梯形的面积定积分的定义2.物体以变速作直线运动，从时刻T1到T2经过的路程为

定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和机动目录上页下页返回结束定积分的定义

机动目录上页下页返回结束若对区间等分，则(2)(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即注意：定积分的定义

定理1.定理2.且只有有限个间断点机动目录上页下页返回结束可积的必要条件:可积的充分条件:

例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取机动目录上页下页返回结束

利用几何意义求定积分例2解

三、定积分的近似计算机动目录上页下页返回结束将[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)≈

(梯形公式)为了提高精度,还可建立更好的求积公式,例如辛普森机动目录上页下页返回结束公式,复化求积公式等,并有现成的数学软件可供调用.

三、定积分的性质(设所列定积分都存在)

(k为常数)证:=右端机动目录上页下页返回结束

证:当时,分割区间时,永远取c为分点于是机动目录上页下页返回结束（积分区间可加性）

当a,b,c的相对位置任意时,例如则有机动目录上页下页返回结束证:（积分区间可加性）

6.若在[a,b]上则证:推论1.若在[a,b]上则机动目录上页下页返回结束推论2.

推论2.证:即机动目录上页下页返回结束

（估值定理）设则机动目录上页下页