陕西师范大学《数值分析》第五章 插值与拟合.pptxVIP

讲授：

用有限个函数值去推断或表示函数的方法；

重点论述:

Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值、分段插值、曲线拟合及对应的原理、构造、误差分析等。第五章插值与拟合方法

§5.2基本概念第5章插值与拟合方法

1、问题的描述已知函数y=f(x)在n+1个点上的函数值这里介绍最常用的两种方法：插值方法与拟合方法。怎样依据如上数据构造一个函数P(x)作为f(x)的近似函数？xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn

1）插值概念插值函数定义：如果函数P(x)满足称P(x)为f(x)的一个插值函数,f(x)称被插函数.插值条件：插值余项：插值节点：显然，插值有无穷个！

代数插值(多项式插值)：插值函数P(x)是多项式时的插值。一个代数插值函数P(x)可写为若它满足插值条件，则有线性方程组：

当m=n，它的系数行列式为范德蒙行列式：因为插值节点互异，有得线性方程组有唯一解，于是有定理5.1当插值节点互异时，存在一个满足插值条件的n次插值多项式。不过，遗憾的是方程组是病态的！

定理满足插值条件的n次插值多项式是唯一的。证明：设P(x)、Q(x)是两个满足插值条件的n次插值多项式，于是有

2）拟合概念拟合函数定义：如果函数φ(x)满足称φ(x)为f(x)的一个拟合函数。残差：残差向量：拟合点：

3）插值函数和拟合函数的几何解释插值函数图示拟合函数图示

§5.3插值法第5章插值与拟合方法

已知函数y=f(x)在n+1个点上的函数值:要构造一个n次插值多项式Pn(x)。xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn对n=1的插值多项式，称为线性插值；n=2的插值多项式称为抛物线插值或辛普森插值.用插值函数Pn(x)来近似计算x在[a,b]的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。

1、Lagrange插值1）基本思想将待求的n次多项式插值函数改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式形式求出插值多项式。Lagrange插值是n次多项式插值。

2）构造原理已知函数y=f(x)在n+1个点上的函数值为构造一个n次插值多项式Pn(x)，令xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn式中

为获得其中的n+1个n次多项式，由插值条件，有

注意到函数的零点分解特性：可得

类似可得：Lagrange插值基函数代入开始设定的函数n次Lagrange插值多项式

Lagrange插值基函数的特点1）有几个插值节点就有几个基函数

例1：给定数表x-125y368有3个Lagrange插值基函数分别为

3）分析插值余项定理：设函数f(x)在[a,b]上有n+1阶导数，则有成立

证明：由函数零点分解有做辅助函数说明g(t)在[a,b]上有n+2个零点。由Rolle定理有说明g(t)在[a,b]上有n+1个零点；同理有说明g(t)在[a,b]上有n个零点…

对辅助函数求n+1阶导数

对n=1的插值多项式，称为线性插值；

例2：已知y=lnx的函数表为试用线性插值和抛物线插值分别计算ln(3.27)的近似值，并估计相应的误差。解：线性插值需要两个节点，内插比外推好，这里选内插来做。x33.13.23.33.4y1.0986121.1314021.1631511.1939221.223775

同理，对抛物线插值，选取三个节点为

误差讨论：有线性插值计算的误差估计同理有抛物线插值计算的误差估计为

例3在[-4,4]上给出ex的等距节点函数表，若想用二次插值来计算ex的近似值，并要求截断误差不超过10-6，问此函数表的步长h应为多少？解二次插值需要三个节点，为满足一般性，这里取三个相邻的节点构造二次插值函数:利用n=2的Lagrange余项定理，有

取h=0.0057可满足要求。由故造表时取1405个等距节点来计算函数值即可。

2、Newton插值1）基本思想将待求的n次多项式插值函数改写成其他基函数形式的多项式的线性组合型式，再利用插值条件确定n+1个待定的线性组合系数求出插值多项式。Newton插值是n次多项式插值。

2）构造原理已知函数y=f(x)在n+1个点上的函数值为构造一个n次插值多项式Pn(x)，令xx0x1x2…xnyy0y1y2…yn

利用插值条件，有为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念。

，一阶差商定义为：k阶差商定义为：为方便讨论，称f[x]为零阶差商。